商家在消费者已支付购车款后，因开具发票额外加价的行为不合法。以下是具体分析：

1. 从合同履行角度分析
   根据《民法典》第五百九十九条，出卖人应当按照约定或者交易习惯向买受人交付提取标的物单证以外的有关单证和资料，发票作为法定凭证属于此类资料。消费者支付购车款后，商家即负有开具发票的法定义务，不得以加价作为履行义务的条件。若商家拒绝开具发票或要求加价，构成违约行为，消费者可依据《民法典》第五百七十七条要求商家继续履行或赔偿损失。

2. 从税收征管角度分析
   根据《发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。商家以加价方式拒绝开具发票，涉嫌违反税收征管规定，可能面临税务机关的行政处罚（如罚款、没收违法所得等）。消费者可向当地税务机关举报，由税务机关依法查处。

3. 从消费者权益保护角度分析
   根据《消费者权益保护法》第二十二条，经营者提供商品或者服务，应当按照国家有关规定或者商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或者服务单据。商家加价开具发票的行为，侵犯了消费者的公平交易权，消费者可依据《消费者权益保护法》第五十六条向市场监管部门投诉，要求商家停止侵权行为并赔偿损失。

建议处理方式：

1. 与商家协商，明确告知其加价行为违法，要求按原价开具发票；
   
2. 若协商无果，可向当地税务机关举报（拨打12366纳税服务热线）或向市场监管部门投诉（拨打12315消费者投诉举报专线）；
   
3. 保留购车收据、付款记录等证据，必要时可通过诉讼途径维护自身权益。
   

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