关于您提出的“宣告债务人死亡申请的法律依据”这一问题，实际上更侧重于债务人死亡后其债务如何处理，而非直接“宣告死亡”的法律程序（宣告死亡通常涉及失踪人员的法律状态认定，与债务处理虽有关联但非同一概念）。不过，基于您可能关心的核心点——债务人死亡后债务的法律处理，我将依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，为您详细解答：
一、核心法律依据
《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条明确规定了债务人死亡后债务的清偿原则：“继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。”
二、具体分析与解读
债务清偿原则：
- 债务人死亡后，其遗留的债务并不会因此消灭，而是应由其遗产来承担。
- 继承人作为遗产的接收者，有义务在继承遗产的实际价值范围内清偿债务。若遗产不足以清偿全部债务，继承人无需以个人财产承担超出部分，除非其自愿偿还。
继承人的选择权：
- 继承人有权选择接受或放弃继承。若选择放弃继承，则无需对债务承担任何责任。
- 若存在多个继承人，他们需共同协商处理债务清偿事宜。若协商不成，可通过诉讼等法律途径解决。
特殊情形处理：
- 若被继承人生前订立了遗嘱并指定了遗产的用途，那么在处理债务时，需优先按照遗嘱执行。
- 在遗产分割前，需预留必要的份额用于清偿债务及税款，以确保债权人的权益得到保障。
债权人权益保障：
- 债权人有权要求继承人在遗产范围内清偿债务。这是债权人维护自身权益的重要法律依据。
- 若遗产已分割而债务未清偿，债权人可请求法定继承人在所得遗产范围内按比例分担债务（除非另有约定）。
三、相关法条延伸
- 《民法典》第一千一百二十二条规定了遗产的定义，明确债务属于遗产的组成部分，这为债务清偿提供了法律基础。
- 第一千一百六十三条则规定了既有法定继承又有遗嘱继承时的债务清偿顺序，进一步细化了债务清偿的具体操作。
综上所述，当债务人死亡后，其债务应由其遗产来承担，并由继承人在继承遗产的实际价值范围内进行清偿。这一原则既保护了债权人的权益，也尊重了继承人的选择权。希望这一解答能对您有所帮助。