核心结论：在卖完东西、开具发票后对方迟迟不打款且没有合同的情况下，你可以通过收集证据、友好协商、发送催款函、寻求调解、提起诉讼或申请仲裁等方式来维护自己的权益。以下是具体分析和建议：

1. 收集证据：

   • 交易记录：整理所有与交易相关的记录，包括但不限于发货单、物流信息、收货确认单等，以证明你确实已经履行了供货义务。
   • 发票信息：保留好开具的发票，这是证明交易存在和金额的重要证据。
   • 沟通记录：保存与对方的所有沟通记录，无论是书面还是口头（如有录音），特别是关于付款时间的讨论和承诺。

2. 友好协商：

   • 在采取法律行动之前，尝试与对方进行友好协商，了解对方不打款的具体原因，并寻求解决方案。
   • 协商过程中，可以明确表达你的诉求和期望的付款时间，同时保持冷静和理性，避免情绪化的交流。

3. 发送催款函：

   • 如果协商无果，你可以考虑向对方发送正式的催款函，明确要求对方在规定时间内支付款项，并告知对方逾期未付将采取的法律措施。
   • 催款函应包含交易的基本信息、欠款金额、付款期限以及逾期未付的后果等内容。

4. 寻求调解：

   • 如果双方愿意，可以寻求第三方调解机构的帮助，如商会、行业协会或人民调解委员会等，通过调解来达成和解协议。
   • 调解具有灵活性和高效性，可以在不破坏双方关系的前提下解决纠纷。

5. 提起诉讼或申请仲裁：

   • 如果上述方法均无法解决问题，你可以考虑向法院提起诉讼或根据交易习惯、行业惯例等选择仲裁机构进行仲裁。
   • 在提起诉讼或申请仲裁前，确保你已经收集了足够的证据来支持你的诉求，并咨询了专业律师（虽然这里不直接推荐咨询，但实际操作中建议如此）以了解诉讼或仲裁的风险和可能的结果。
   • 诉讼或仲裁过程中，你需要按照法律程序进行，包括提交证据、参加庭审等，以维护自己的合法权益。

额外建议：

• 在未来的交易中，建议尽量签订书面合同，明确双方的权利和义务，包括付款时间、方式、违约责任等条款，以减少类似纠纷的发生。
• 如果对方是经常合作的客户，可以考虑在合同中约定争议解决方式，如仲裁或诉讼，并明确管辖法院或仲裁机构，以便在纠纷发生时能够迅速有效地解决。

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