结论前置：招商信用卡欠款2万元，确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉取决于多种因素，包括欠款时间、还款意愿、还款能力以及银行的内部政策等。
一、银行的处理流程与法律依据
前期催收阶段：
- 当持卡人未能按时还款时，招商银行首先会通过短信、电话等非正式方式提醒还款，此阶段旨在促使持卡人主动履行还款义务，通常不会立即采取法律行动。
- 若持卡人未响应，银行可能会委托专业催收机构加大催收力度，通过更频繁的电话、信函等方式要求还款。
起诉可能性及法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于借款合同的规定，信用卡透支消费构成借款合同关系，持卡人有义务按约定还款。
- 若逾期超过一定时间（通常为三个月，但具体以银行政策为准），且欠款金额达到一定标准（如2万元），经银行和催收机构多次催收无果，银行可能选择通过法律途径解决，即向法院提起诉讼，要求持卡人承担违约责任，包括偿还本金、利息及滞纳金等费用。
二、影响银行起诉决策的因素
欠款金额与期限：
- 欠款金额越大、逾期时间越长，银行采取法律手段的可能性越高。2万元的欠款金额已达到一定规模，若长期未还，银行起诉的可能性显著增加。
持卡人的还款意愿与能力：
- 若持卡人表现出积极的还款意愿，并与银行协商制定还款计划，银行可能暂缓起诉。
- 若持卡人完全失去联系或明确表示无力偿还，银行将更倾向于通过法律途径解决。
银行的内部政策与风险考量：
- 不同银行对逾期账款的处理政策存在差异。招商银行可能因风险控制需要，在特定条件下优先选择诉讼清收。
三、法律后果与应对建议
法律后果：
- 若被起诉，持卡人需承担诉讼费用，并面临法院判决强制执行的风险。
- 若拒不履行判决，可能被列入失信被执行人名单，影响个人信用记录，甚至可能面临更严重的法律后果，如限制高消费、限制出境等。
应对建议：
- 主动沟通：发现无法按时还款时，应立即与招商银行联系说明情况，表达还款意愿。
- 协商方案：尝试申请分期还款、延期还款等个性化解决方案，以减轻还款压力。
- 避免失联：保持通讯畅通，及时回应银行的催收通知，避免因失联而加速银行采取法律行动。
- 寻求专业帮助：如遇复杂情况或已收到法院传票，建议尽快向我咨询，制定更有效的还款策略或应对方案。
四、特殊情况说明
- 若持卡人因特殊原因（如突发疾病、失业等）导致暂时无力还款，且能提供相关证明材料，银行可能会给予一定的宽限期或调整还款计划。
- 若持卡人已与银行达成还款协议并正在履行中，银行通常不会立即起诉。但若持卡人违反协议约定，银行有权恢复法律追讨程序。
综上所述，招商信用卡欠款2万元时，银行是否会起诉取决于多种因素。持卡人应积极与银行沟通，展现还款意愿和能力，以避免可能的法律纠纷和不良后果。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。