若养老院院长公开或私下对家属照顾老人的行为进行不恰当评判，称其为“愚孝”，且该评判对家属造成了名誉损害或其他负面影响，家属可以通过以下途径追究相关责任：
名誉权侵权追究：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零二十四条，民事主体享有名誉权，任何组织或个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。若院长的评判构成侮辱或诽谤，即属于名誉权侵权。
- 追究方式：家属可以收集证据，如录音、录像、证人证言等，证明院长的评判行为及其造成的负面影响，然后向法院提起名誉权侵权诉讼，要求院长停止侵害、赔礼道歉、消除影响，并可能要求赔偿精神损失。
内部管理或合同纠纷追究（如适用）：
- 前提条件：如果家属与养老院之间存在服务合同关系，且合同中明确规定了养老院及其工作人员的行为规范，院长的评判行为可能违反了合同约定。
- 追究方式：家属可以首先查阅合同条款，确认院长行为是否构成违约。若构成违约，家属可以依据合同向养老院提出违约责任追究，要求养老院采取补救措施或赔偿损失。同时，如果养老院有内部管理规定，家属也可以向养老院管理层反映情况，要求其对院长进行纪律处分。
职业道德或行业规范追究（如适用）：
- 前提条件：如果院长是养老服务行业的从业人员，其评判行为可能违反了行业职业道德或规范。
- 追究方式：家属可以向当地养老服务行业协会或相关监管部门投诉，要求对院长的行为进行调查和处理。如果调查属实，行业协会或监管部门可能会对院长进行警告、罚款、吊销执业资格等处罚。
在处理此类纠纷时，家属应注意以下几点：
- 保持冷静和理性：避免与院长或养老院发生直接冲突，以免事态扩大。
- 收集证据：及时收集并保存与纠纷相关的所有证据，包括录音、录像、书面材料等。
- 寻求专业帮助：如果家属对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到妥善维护。
若您在此方面遇到具体问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。