结论：智呆老人在养老院把其他老人推倒住院，养老院是否有责任需根据具体情况判断。若养老院未尽到管理职责，则需承担相应责任；若已尽到管理职责，则可能无需承担责任。
分析说明：
养老院责任的基本原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力人或限制民事行为能力人在养老院等机构生活期间，若受到人身损害，且损害是由该机构以外的第三人造成的，由第三人承担侵权责任。但若养老院未尽到管理职责，如未采取必要的安全措施、未及时发现并制止侵害行为等，则需承担相应的补充责任。
具体情形分析：
- 第三人侵权情形：在此案例中，若智呆老人（假设为无民事行为能力人或限制民事行为能力人）推倒其他老人是由其自身行为导致，且养老院在此过程中未尽到管理职责，如未对智呆老人进行必要的看护、未及时发现并制止其推人行为等，则养老院需承担相应的补充责任。
- 养老院直接责任情形：若养老院的教育、管理设施存在安全隐患，或者养老院工作人员未尽到教育、管理职责，如未对智呆老人进行适当的行为引导、未提供足够的安全保障等，直接导致其他老人被推倒受伤，则养老院应直接承担侵权责任。
责任承担与追偿：
- 若养老院因未尽到管理职责而承担补充责任或直接责任，其有权根据损害程度、过错大小等因素，依法向智呆老人或其监护人（若智呆老人有监护人）进行追偿，以减轻自身的经济负担。但这一追偿过程可能较为复杂，需根据具体情况和法律规定进行。
行动建议：
对于受害老人及其家属：
- 及时收集证据，如医疗记录、现场照片、证人证言等，以证明损害事实和养老院的过错。
- 与养老院协商赔偿事宜，若协商不成，可依法向人民法院提起诉讼，要求养老院承担相应的赔偿责任。
对于养老院：
- 加强内部管理，完善安全制度，确保对无民事行为能力人或限制民事行为能力人的看护到位。
- 定期对工作人员进行培训，提高其应对突发事件的能力和法律意识。
- 若发生此类事件，应积极配合调查，主动承担责任（若确实存在过错），并积极与受害老人及其家属协商赔偿事宜。
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第一千二百零一条：无民事行为能力人或者限制民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间，受到幼儿园、学校或者其他教育机构以外的第三人人身损害的，由第三人承担侵权责任；幼儿园、学校或者其他教育机构未尽到管理职责的，承担相应的补充责任。幼儿园、学校或者其他教育机构承担补充责任后，可以向第三人追偿。虽然该条款直接针对的是幼儿园、学校等教育机构，但养老院作为类似机构，在承担管理职责方面具有相似性，因此可参照适用。
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