休息休假制度的执行通常涉及多个部门，但主要的管理和监督职责一般归属于人力资源社会保障部门以及各级人事部门（针对国家机关、事业单位）。以下是对这一问题的详细解答：

一、人力资源社会保障部门

人力资源社会保障部门在休息休假制度的执行中扮演着核心角色。它们负责：

1. 政策指导与制定：根据国务院的相关决定和规定，人力资源社会保障部门会发布通知和指导意见，推动企事业单位依法安排职工休假，确保职工应休尽休。例如，它们会鼓励单位在尊重职工意愿的基础上，统筹单位工作需要和职工生活需求，制订职工休假年度计划。

2. 规范支付行为：人力资源社会保障部门会确保职工在法定节假日、带薪年休假期间享受与正常工作期间相同的工资收入，并监督企业等单位依法支付加班工资和未休年休假工资报酬。

3. 监督检查与纠纷处理：人力资源社会保障部门会加大对企事业单位执行休息休假制度情况的监督检查力度，及时发现和有效化解有关矛盾纠纷。对于不安排职工休假又未依照规定支付工资报酬的单位，它们会依法责令限期改正，并可能加付赔偿金。

二、各级人事部门（针对国家机关、事业单位）

对于国家机关和事业单位，各级人事部门在休息休假制度的执行中也发挥着重要作用。它们负责：

1. 实施办法的制定与执行：根据《国务院关于职工工作时间的规定》，人事部门会制定具体的实施办法，并确保这些办法在国家机关和事业单位中得到贯彻执行。

2. 工作时间与休息日的安排：人事部门会规定国家机关和事业单位的职工每日和每周的工作时间，以及周休息日和节假日的安排。对于需要特殊工作时间的单位，它们会进行审批和管理。

3. 监督检查与经验总结：人事部门会对《规定》的执行情况进行监督检查，并总结执行中的经验和问题，以便进一步改进和完善休息休假制度。

三、其他相关部门

除了人力资源社会保障部门和各级人事部门外，其他相关部门如工会、行业协会等也可能在休息休假制度的执行中发挥一定作用。它们可以通过提供咨询、调解纠纷、推动行业自律等方式，促进休息休假制度的更好执行。

总结：休息休假制度的执行主要归属于人力资源社会保障部门以及各级人事部门（针对国家机关、事业单位）。这些部门通过政策指导、规范支付行为、监督检查与纠纷处理等方式，确保职工能够享受到应有的休息休假权益。同时，其他相关部门如工会、行业协会等也可能提供支持和协助。