结论：公益岗位到期时51岁且社保缴费不足15年的，一般不能直接办理退休手续，但可通过延长缴费或转入其他养老保险制度满足条件后退休。以下是具体分析：

一、退休的核心条件

根据《社会保险法》第十六条，退休需同时满足两个条件：

1. 年龄条件：达到法定退休年龄（男60周岁，女工人50周岁/女干部55周岁，公益岗位通常按女工人标准执行）；
2. 缴费年限条件：养老保险累计缴费满15年。

您的情况：年龄已达51岁（假设为女性公益岗位人员），但缴费不足15年，未同时满足两个条件，因此无法直接退休。

二、缴费不足15年的解决方案

若年龄已达退休标准但缴费不足，可通过以下途径补救：

1. 延长缴费至满15年

• 操作方式：继续按年缴纳养老保险，直至累计满15年。
• 适用场景：距离15年差距较小（如差3-5年），且经济能力允许。
• 法律依据：《社会保险法》第十六条第二款：“参加基本养老保险的个人，达到法定退休年龄时累计缴费不足十五年的，可以缴费至满十五年，按月领取基本养老金。”

2. 转入城乡居民养老保险

• 操作方式：将城镇职工养老保险转入城乡居民养老保险，一次性补缴至满15年后领取养老金。
• 适用场景：距离15年差距较大（如差10年以上），且希望尽快领取养老金。
• 注意事项：城乡居民养老金待遇通常低于职工养老金，需权衡利弊。

3. 终止养老保险关系（不推荐）

• 操作方式：书面申请终止职工养老保险关系，一次性领取个人账户储存额。
• 风险：仅能领取个人缴费部分，单位缴费部分无法领取，且失去未来领取养老金资格。

三、特殊情形提示

• 公益岗位性质影响：公益岗位通常为临时性、辅助性岗位，但养老保险缴费规则与普通职工一致，无特殊优惠。
• 地方政策差异：部分地区可能对困难群体有补贴政策（如缴费补助、延长缴费期限等），建议咨询当地社保局核实。

建议行动：

1. 携带身份证、社保卡到当地社保局查询具体缴费年限；
   
2. 根据差距年限和经济能力，选择延长缴费或转入居民养老保险；
   
3. 若对政策有疑问，可直接向我咨询，我会结合您所在省份的具体规定进一步分析。