是的，劳动仲裁补充证据通常需要写申请书。以下从多个角度为你详细分析：

一、法律依据与必要性

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第六条：“发生劳动争议，当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。与争议事项有关的证据属于用人单位掌握管理的，用人单位应当提供；用人单位不提供的，应当承担不利后果。”这一条款明确了当事人在劳动争议中的举证责任，以及用人单位在掌握相关证据时应承担的提供义务。然而，当证据由用人单位掌握，且申请人无法自行获取时，申请人需要通过申请书的形式，请求仲裁委员会依职权调取证据。

二、申请书的内容与格式

申请书应包含以下基本内容：

1. 标题：居中写明“劳动仲裁调查证据申请书”。
2. 申请人信息：包括姓名、性别、年龄、身份证号、联系方式，以及工作单位名称、地址（被申请人主体信息）。
3. 被申请人信息：包括单位全称、法定代表人姓名、职务、联系方式，以及统一社会信用代码（如有）。
4. 请求事项：明确表述申请目的，例如：“请求仲裁委员会依职权调取以下证据……”
5. 事实与理由：简述劳动争议背景（如拖欠工资、违法解除等），说明需调查的证据内容及与案件的关联性，解释为何申请人无法自行获取该证据（如证据由被申请人掌握）。
6. 证据线索：提供初步线索（如证人姓名、文件存放地点、电子数据路径等）。
7. 结尾与附项：写明提交申请的仲裁委员会名称，申请人签名、日期，并附上身份证复印件、相关材料清单。

示例：

劳动仲裁调查证据申请书

申请人：张三，男，35岁，身份证号XXX，联系电话XXX。
被申请人：XX科技有限公司，住所地XX市XX区XX路XX号，法定代表人李四，职务总经理，联系电话XXX。

请求事项：
1. 请求仲裁委员会向招商银行XX支行调取申请人（账号：XXXX）2022年1月至2023年6月的工资流水记录；
2. 请求向被申请人IT部门调取申请人2023年3月至5月的考勤打卡原始数据。

事实与理由：
申请人于2022年1月入职被申请人处，担任软件工程师。2023年5月，被申请人以“绩效考核不合格”为由解除劳动合同，但未支付经济补偿金。申请人主张被申请人存在克扣工资及违法解除行为，但工资支付记录和考勤数据均由被申请人掌握，申请人无法自行获取。根据《劳动争议调解仲裁法》第六条，特申请仲裁委员会依职权调取上述证据。

证据线索：
1. 工资发放通过招商银行代发，账户尾号为XXXX；
2. 考勤系统由被申请人IT部门维护，负责人为王五（联系电话XXX）。

此致
XX市劳动争议仲裁委员会

申请人：张三（签名）
日期：2023年X月X日

附：身份证复印件、劳动合同复印件各一份。

三、申请书的提交时间与注意事项

1. 时间节点：申请书应在举证期限内提交，通常为收到受理通知书后10日内。逾期提交可能影响证据的采纳。
2. 格式规范：申请书应使用A4纸打印，一式三份（仲裁委员会一份、被申请人一份、自留一份）。手写需字迹工整，避免涂改。
3. 法律依据：在申请书中引用相关法律条款，如《劳动争议调解仲裁法》第六条，以增强申请书的法律效力和说服力。

四、可能遇到的法律后果

如果申请人未能在规定时间内提交申请书，或者申请书内容不符合规范，可能导致仲裁委员会不予受理或不予调取证据。这将影响申请人的举证能力，进而可能影响案件的审理结果。因此，申请人应认真对待申请书的撰写和提交工作。

如果你在劳动仲裁过程中遇到任何问题，或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律建议。