工厂如果没有与劳动者签订劳动合同，在大多数情况下是违法的，但也存在一些特殊情况不构成违法。以下是对此问题的详细分析：
一、违法情形及法律后果
违法情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。如果工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，即构成违法。
法律后果：
- 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若工厂自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。这一条款旨在惩罚用人单位的违法行为，并补偿劳动者因未签订劳动合同而可能遭受的损失。
- 如果工厂自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。这意味着，尽管没有书面的劳动合同，但劳动者仍享有与签订书面劳动合同相同的权益和保护。
二、不违法情形
非全日制用工：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。这意味着，在非全日制工作的情况下，未签订书面劳动合同并不构成违法。
未及时签订但后续补签且支付补偿：
- 如果工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，但在后续期间内补签了劳动合同，并且按照法律规定支付了双倍工资差额（从第二个月起至补签前一日），则此期间的未签合同行为不构成违法。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 如前所述，如果工厂自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。在此情况下，虽然未签订书面合同，但法律关系已经明确，不构成违法。
三、劳动者的应对措施
面对工厂不签订劳动合同的违法行为（除上述不违法情形外），劳动者可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
- 与工厂协商：首先尝试与工厂进行友好协商，要求签订书面劳动合同，并明确双方的权利和义务。
- 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉工厂的违法行为，请求其介入调查并给予相应的法律支持。
- 申请劳动仲裁或提起诉讼：在必要时，劳动者还可以申请劳动仲裁或提起诉讼，通过法律程序来维护自己的权益，包括要求工厂支付双倍工资、补签劳动合同等。
四、建议与注意事项
- 尽量签订书面合同：对于劳动者而言，签订书面劳动合同是保障自己权益的重要方式。书面合同可以明确双方的权利和义务，减少纠纷的发生。
- 保留相关证据：在未签订书面合同的情况下，劳动者应尽可能保留与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资条等。这些证据在发生纠纷时可以作为维权的重要依据。
综上所述，工厂如果没有与劳动者签订劳动合同，在大多数情况下是违法的，并需承担相应的法律责任。但劳动者也应了解存在一些特殊情况不构成违法，并采取相应的应对措施来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。