在私立医院工作23年被辞退，您是有可能获得补偿的，但具体能否获得补偿以及补偿的数额，需要根据辞退的原因和相关的法律规定来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、辞退原因与补偿关系
合法辞退：
- 如果私立医院因您存在严重违反医院规章制度、严重失职、营私舞弊给医院造成重大损害等合法理由辞退您，且医院能够提供充分证据证明其辞退行为的合法性，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，医院可能无需支付经济补偿。但这种情况较为特殊，且医院需承担举证责任。
非法辞退：
- 如果私立医院无正当理由辞退您，或者辞退理由不成立（如以您年龄大、身体不好等非法定理由辞退），那么根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条、第四十八条和第八十七条的规定，医院应当向您支付经济补偿，并可能因非法辞退而支付赔偿金。
二、经济补偿的计算
经济补偿标准：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您的情况下，由于您已经工作了23年，因此如果医院需要支付经济补偿，那么补偿的月数应为23个月（或根据具体情况可能略有调整，如存在不满六个月的部分则加半个月）。
月工资标准：
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于医院所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向您支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向您支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、赔偿金的可能性
- 如果私立医院的辞退行为被认定为非法辞退（即违反了《中华人民共和国劳动合同法》的规定），那么除了支付经济补偿外，医院还可能需要向您支付赔偿金。
- 赔偿金的数额通常为经济补偿的两倍，即如果医院需要支付23个月的经济补偿，那么赔偿金可能为46个月的工资（但同样受到月工资三倍和最高年限十二年的限制）。
四、实际操作建议
收集证据：
- 您应收集与私立医院存在劳动关系的证据（如劳动合同、工作证、工资条等），以及医院辞退您的相关证据（如辞退通知、解除劳动合同证明等）。
了解法律程序：
- 您可以通过查阅《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，了解自己的权益和可能的法律途径。
及时咨询：
- 如果您对法律程序或自己的权益存在疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。
总结来说，在私立医院工作23年被辞退，您是有可能获得经济补偿甚至赔偿金的，但具体能否获得以及数额多少，需要根据辞退的原因和相关的法律规定来确定。因此，我建议您尽快收集相关证据，并了解自己的权益和可能的法律途径。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。