教育机构在交完学费后不给发票，这一行为确实是违法的。下面我将从法律依据、违法性分析、法律后果以及消费者维权途径这几个方面，为您详细解答这一问题。
首先，我们来看法律依据。根据《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，所有单位和从事生产、经营活动的个人，在购买商品、接受服务以及从事其他经营活动支付款项时，都有权向收款方取得发票。同时，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，也有义务向付款方开具发票。这意味着，教育机构在提供培训服务并收取费用后，必须向您开具发票，这是其法定义务。
接下来，我们分析违法性。教育机构拒开发票的行为，直接违反了《中华人民共和国发票管理办法》的明确规定，因此属于违法行为。这种行为不仅损害了您的合法权益，比如您可能无法凭发票进行报销或作为消费凭证，还可能存在偷逃税的嫌疑，进一步违反了税收征收管理方面的法律法规。
再来看法律后果。如果教育机构拒不开具发票，税务机关有权责令其改正，并可处以1万元以下的罚款。如果教育机构有违法所得，税务机关还将予以没收。此外，没有发票可能导致您在出现纠纷时难以举证，影响您的权益保护。
最后，我们谈谈消费者的维权途径。面对教育机构拒开发票的情况，您可以采取以下措施来维护自身权益：
与机构协商：首先，您可以尝试与教育机构进行沟通，明确要求其依法开具发票，并告知其相关的法律规定。
向税务机关举报：如果协商无果，您可以向当地税务机关进行举报。税务机关将依法进行调查处理，确保您的合法权益得到保障。
保留证据：在协商或举报过程中，您应保留好相关证据，如缴费记录、沟通记录等，以便在需要时提供证明。
综上所述，教育机构不提供发票是违法行为，您有权要求其开具发票，并通过合法途径维护自身权益。同时，我也建议您在今后的消费过程中，增强法律意识，主动索要发票，以确保自己的合法权益不受损害。