当劳动仲裁一裁终局出现事实错误时，单位可以采取申请撤销裁决的方式来维护自身权益。具体分析如下：

一、申请撤销裁决的适用情形

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十九条，用人单位若有证据证明仲裁裁决存在以下情形之一，可以自收到仲裁裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决：

1. 适用法律、法规确有错误的：例如，仲裁委错误适用了已过有效期的地方性法规来判定案件，导致裁决结果不公。
2. 劳动争议仲裁委员会无管辖权的：如果仲裁委对案件没有管辖权而进行了裁决，该裁决可以被撤销。
3. 违反法定程序的：如仲裁过程中存在程序违法，如未依法送达仲裁文书、未给予当事人充分陈述和申辩的机会等。
4. 裁决所根据的证据是伪造的：如果裁决所依据的证据是伪造的，那么裁决结果显然不可信，应当被撤销。
5. 对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据的：例如，在竞业限制纠纷中，劳动者隐瞒了已实际履行竞业限制义务且用人单位已支付部分补偿金的关键证据，导致仲裁委作出不利于用人单位的裁决。
6. 仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为的：如果仲裁员存在上述违法行为，那么其作出的裁决显然不公正，应当被撤销。

二、申请撤销裁决的操作流程

1. 准备证据材料：用人单位需要收集并整理能够证明仲裁裁决存在上述情形的证据材料，如法律条文、程序违法记录、伪造证据的鉴定报告、对方隐瞒证据的证明等。
2. 提交申请：用人单位需在收到裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院提交撤销裁决的申请书及证据材料。
3. 法院审查：法院将依法组成合议庭对申请进行审查，核实裁决是否存在上述情形。
4. 裁定结果：如果法院裁定撤销裁决，那么双方可以就该劳动争议事项重新通过协商、仲裁或诉讼等方式解决。

三、注意事项

1. 时效性：用人单位必须在收到裁决书之日起三十日内提出申请，逾期将丧失申请撤销的权利。
2. 证据充分性：用人单位需要提供充分的证据来证明仲裁裁决存在上述情形，否则法院可能不会支持其申请。
3. 后续解决方式：如果裁决被撤销，双方可以重新协商、申请仲裁或提起诉讼来解决争议。用人单位应根据实际情况选择合适的解决方式。

举例说明：假设在某起劳动争议案件中，仲裁委错误地适用了已废止的法规来判定用人单位应支付的赔偿金额，导致裁决结果对用人单位不利。此时，用人单位可以在收到裁决书之日起三十日内向中级人民法院申请撤销裁决，并提供相关证据证明仲裁委适用的法规已废止。如果法院审查后认为用人单位的申请有理有据，那么可能会裁定撤销原裁决，并允许双方重新解决争议。

建议：如果单位认为劳动仲裁一裁终局存在事实错误，应及时咨询专业律师，评估申请撤销裁决的可行性和风险，并准备充分的证据材料来支持其申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。