结论：孕检时胎儿健康，出生时不健康，医院是否应当承担责任，这并非一个简单的是非问题，而是需要依据具体情况，从多个角度进行综合分析判断。
一、医院可能承担责任的情形
医疗过错：
- 法律依据：根据《民法典》侵权责任编的相关规定，如果医院在孕检过程中存在医疗过错，如未按照诊疗规范进行必要的检查、未及时发现胎儿存在的健康问题、未对孕妇进行充分的告知和风险提示等，且这种过错与胎儿出生时的不健康状态存在因果关系，那么医院应当承担相应的赔偿责任。
- 具体分析：例如，如果医院在孕检时未进行必要的超声检查，导致未能发现胎儿存在的先天性心脏病等严重健康问题，那么医院可能因未尽到诊疗义务而承担责任。
未履行告知义务：
- 法律依据：医院在孕检过程中，有义务向孕妇充分告知胎儿的健康状况、可能存在的风险以及建议的诊疗措施等。如果医院未履行这一告知义务，导致孕妇在不知情的情况下未能采取必要的措施，那么医院也可能承担一定的责任。
- 具体分析：例如，如果医院在孕检时发现胎儿可能存在某种健康问题，但未及时告知孕妇，导致孕妇未能及时进行进一步的检查或治疗，那么医院可能因未履行告知义务而承担责任。
二、医院可能不承担责任的情形
医疗水平限制：
- 法律依据：医疗行为本身存在一定的风险性和不确定性，即使医院按照诊疗规范进行了必要的检查和治疗，也可能因医疗水平的限制而无法完全避免胎儿出生时的不健康状态。
- 具体分析：例如，某些先天性疾病或遗传性疾病，即使在孕检时进行了全面的检查，也可能因当前医疗技术的限制而无法被及时发现。在这种情况下，医院通常不承担责任。
孕妇自身因素：
- 法律依据：如果胎儿出生时的不健康状态是由孕妇自身的因素导致的，如孕妇在孕期未按照医嘱进行必要的保健、未避免接触有害物质等，那么医院通常不承担责任。
- 具体分析：例如，孕妇在孕期长期吸烟、饮酒或接触有毒有害物质，导致胎儿出生时存在健康问题，那么这种情况下的责任应由孕妇自身承担。
三、建议与行动指南
收集证据：
- 如果孕妇认为医院在孕检过程中存在过错，应首先收集相关证据，如孕检记录、检查报告、医嘱等，以证明医院未尽到诊疗义务或未履行告知义务。
咨询专业律师：
- 在收集到相关证据后，建议咨询专业律师，对证据进行评估和分析，以确定医院是否应当承担责任以及承担责任的比例。
考虑医疗鉴定：
- 如果双方对医院的责任存在争议，可以考虑进行医疗事故鉴定或医疗损害鉴定，以明确医院是否存在过错以及过错与胎儿出生时不健康状态之间的因果关系。
协商或诉讼：
- 在明确医院责任后，可以与医院进行协商，要求医院承担相应的赔偿责任。如果协商不成，可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自身权益。
总结：孕检时胎儿健康，出生时不健康，医院是否应当承担责任，需要依据具体情况进行综合分析判断。如果医院在孕检过程中存在医疗过错或未履行告知义务，且这种过错与胎儿出生时的不健康状态存在因果关系，那么医院应当承担相应的赔偿责任。如果孕妇认为医院存在过错，应收集相关证据并咨询专业律师，以维护自身权益。