结论：员工因偷超市东西被追究刑事责任或受到治安管理处罚的，公司通常可以依据内部规章制度或相关法律规定开除该员工；若未被追究责任或处罚较轻，公司能否开除需视具体情况及公司规章制度而定。以下从不同角度详细分析：
一、员工偷超市东西被追究刑事责任的情况
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。这里的“被依法追究刑事责任”，指的是被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑）的情形。
公司操作：
- 若员工因偷超市东西被法院判处刑罚，公司有权依据上述法律规定，直接开除该员工，且无需支付经济补偿。
二、员工偷超市东西受到治安管理处罚的情况
法律依据：
- 虽然《劳动合同法》第三十九条未直接提及治安管理处罚，但根据该法条的立法精神，以及《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，员工因偷窃等违法行为受到治安管理处罚（如拘留、罚款等），若情节严重，可能构成严重违反用人单位规章制度的情形。
- 同时，许多公司的内部规章制度中也会明确规定，员工因违法行为受到治安管理处罚的，公司有权解除劳动合同。
公司操作：
- 若公司规章制度中有相关规定，且员工偷超市东西的行为确实违反了该规定，公司可以依据规章制度开除该员工。
- 若公司规章制度未明确规定，但员工的行为情节严重，影响了公司的声誉或正常运营，公司也可能依据《劳动合同法》中关于“严重违反用人单位规章制度”的模糊条款，结合实际情况，决定是否开除该员工。不过，这种情况下公司需谨慎操作，最好咨询专业律师意见，以确保开除决定的合法性。
三、员工偷超市东西未被追究责任或处罚较轻的情况
分析：
- 若员工偷超市东西的行为未被发现，或虽被发现但未被追究刑事责任或受到治安管理处罚，或处罚较轻（如仅口头警告、罚款等），公司能否开除该员工则需视具体情况而定。
公司操作：
- 首先，公司需查看内部规章制度中是否有关于员工违法行为的处理规定。若有，且员工的行为违反了该规定，公司可以依据规章制度进行处理。
- 若公司规章制度未明确规定，或员工的行为未达到规章制度中规定的开除标准，公司则不能随意开除该员工。此时，公司可以考虑对员工进行批评教育、警告、罚款等内部处理措施，或根据员工的表现和态度，决定是否继续留用。
建议：作为员工，应严格遵守法律法规和公司规章制度，避免违法行为的发生。作为公司，应建立健全内部规章制度，明确员工违法行为的处理标准，并在处理员工违法行为时，确保程序的合法性和公正性。若您或您的公司遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。