结论：两次固定期限劳动合同到期后，企业是否可以不续签，需根据具体情况及法律规定来判断。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动者提出不续签的情况
- 一般原则：若劳动者主动提出不续签劳动合同，则劳动合同到期后自然终止，企业无需支付经济补偿金。
- 特殊情况：但若企业降低了原劳动合同约定的条件，如降低薪资、调整至不利的工作岗位等，导致劳动者因此不续签，企业则需支付经济补偿金。
二、企业提出不续签的情况
通常情况：
- 根据《劳动合同法》第十四条第二款规定，若企业与劳动者已连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者无《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），当劳动者提出续订劳动合同时，企业应当与其订立无固定期限劳动合同。
- 若企业拒绝续签并终止劳动合同，则构成违法解除劳动关系。此时，劳动者有权要求企业继续履行劳动合同，或要求企业按照经济补偿标准的二倍向其支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
特殊情况：
- 若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反企业规章制度、严重失职等情形，或存在第四十条第一项（患病或非因工负伤不能从事工作）、第二项（不能胜任工作）规定的情形，企业可以不续签劳动合同，并且无需支付经济补偿金（但第四十条情形需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资）。
三、综合考量与建议
- 虽然《劳动合同法》并未强制规定企业必须与劳动者续签第三次劳动合同，但在实际操作中，企业应综合考虑用工需求、劳动者的职业规划以及双方之间的协商情况等因素来做出决策。
- 为避免潜在的法律风险和经济损失，建议企业在劳动合同到期前与劳动者进行充分沟通，明确双方的意愿和期望。若企业决定不续签，应确保符合法律规定，并依法支付经济补偿金（如适用）。
- 若劳动者提出续订无固定期限劳动合同，且符合法律规定条件，企业应予以考虑并签订相应合同，以维护劳动关系的稳定性和合法性。
示例说明：假设某员工与企业连续签订了两次为期三年的固定期限劳动合同，且该员工在工作中表现良好，无严重违反规章制度或不能胜任工作等情形。在第二次劳动合同到期前，该员工提出续订无固定期限劳动合同。此时，企业若拒绝续签并终止劳动合同，则构成违法解除劳动关系，需支付赔偿金。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第十四条：无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。…（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条、第四十条：规定了企业可以解除劳动合同的法定情形。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。…
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