当顾客在干洗店将衣服洗坏时，首先可以明确的是，这属于消费者与经营者之间的纠纷，通常可以通过协商、投诉、举报或法律途径来解决。具体负责处理的部门或途径如下：

1. 与干洗店协商：

   • 步骤：首先，顾客应尝试与干洗店进行友好协商，说明衣物损坏的情况，并提供相关证据（如洗衣凭证、照片、购买凭证等），要求对方给出合理解决方案。
   • 理由：协商是解决纠纷的最直接、最快捷的方式，有助于双方达成和解，避免不必要的法律程序。

2. 向消费者保护机构投诉：

   • 部门：若协商无果，顾客可以向当地消费者协会投诉。
   • 方式：可拨打12315电话或通过全国12315平台进行在线投诉，提供详细信息及证据。
   • 理由：消费者协会是保护消费者权益的专门机构，能够提供专业的调解和维权服务。

3. 向市场监督管理部门举报：

   • 部门：若怀疑干洗店存在欺诈、虚假宣传、违规经营等违法行为，顾客可以向当地市场监督管理部门投诉举报。
   • 方式：可通过拨打12345政府服务热线或直接到办公场所提交书面材料，说明违法违规行为及损害情况。
   • 理由：市场监督管理部门负责监管市场秩序，对违法违规行为进行查处，能够维护消费者的合法权益。

4. 法律途径解决纠纷：

   • 申请仲裁：如果双方事先在洗衣服务合同中约定了仲裁条款，顾客可以向约定的仲裁机构申请仲裁。
   • 提起诉讼：若衣服价值较高，损坏损失较大，且与干洗店就赔偿问题无法达成一致，顾客可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。
   • 理由：法律途径是解决纠纷的最后手段，当其他途径无法解决问题时，通过法律途径可以维护自己的合法权益。

在处理此类纠纷时，顾客还需要注意以下几点：

• 保留证据：在整个申诉与维权过程中，保留好相关证据（如洗衣前后的照片、收据、洗衣标签、洗衣单据、衣物价值证明等）至关重要。这些证据将有助于证明衣物损坏的事实和原因，以及衣物的价值，从而支持顾客的赔偿请求。
• 了解法律法规：顾客应了解并熟悉相关的消费者权益法律法规，如《中华人民共和国消费者权益保护法》等。这些法律法规为消费者提供了保护自己权益的法律依据和途径。

若您在处理此类纠纷时遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我作为专业律师，将竭诚为您提供专业的法律意见和帮助。