公职人员在外生育子女却不履行抚养责任，可通过以下途径解决：

1. 民事途径：主张抚养费与监护权
   根据《民法典》第1067条，父母对未成年子女负有法定抚养义务，不直接抚养的一方需支付抚养费（含生活费、教育费、医疗费等）。若公职人员拒不支付，可向法院提起民事诉讼，要求其履行抚养义务。法院判决后，若对方仍不履行，可申请强制执行（如冻结工资、查封财产等）。
   操作建议：收集出生证明、亲子鉴定报告、对方收入证明等证据，向子女户籍地或对方居住地法院起诉。

2. 行政途径：向单位或纪委监委举报
   公职人员违反计划生育政策（如超生）或生活纪律（如婚外情），可能面临行政处分。根据《公务员法》第59条，公务员不得有“违背社会公序良俗，在公共场所有不当行为”等行为，否则可给予警告、记过甚至开除处分。
   操作建议：向对方所在单位纪检监察部门或上级纪委监委提交书面举报材料，附上相关证据（如聊天记录、录音、证人证言等），要求单位依规处理。

3. 刑事途径：若涉嫌重婚罪
   若公职人员与他人以夫妻名义长期同居并生育子女，可能构成《刑法》第258条规定的重婚罪，处2年以下有期徒刑或拘役。
   操作建议：收集对方与第三者同居、公开以夫妻名义生活的证据（如邻居证言、共同生活照片、视频等），向公安机关报案或直接向法院提起刑事自诉。

注意事项：

• 证据收集需合法，避免侵犯他人隐私（如非法安装监控、窃听等）；
  
• 民事诉讼与行政举报可同步进行，形成双重压力；
  
• 若对方拒不履行法院判决，可申请将其纳入失信被执行人名单，限制高消费及出行。
  

如有进一步细节需分析（如对方收入情况、证据充分性等），可直接向我咨询，我会结合具体情形提供更精准的建议。