原告在执行被告一的同时，可以对其他无责被告申请再审，但需满足一定条件。以下是对此问题的详细分析：

一、执行与再审的基本概念

1. 执行：是指人民法院按照法定程序，运用国家强制力量，根据发生法律效力文书明确具体的执行内容，强制民事义务人完成其所承担的义务，以保证权利人的权利得以实现。
2. 再审：是指对已经发生法律效力的判决、裁定、调解书，发现确有错误，依法再次进行审理的程序。再审程序是针对生效裁判的救济程序，旨在纠正已经生效但可能存在错误的裁判。

二、原告对无责被告申请再审的可行性

1. 再审的申请主体：再审的申请主体通常是原审的当事人，包括原告、被告等。因此，原告作为原审的当事人，有权对原审的裁判提出再审申请。
2. 再审的申请条件：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。这里的关键是“认为有错误”，即原告需要提供充分的证据或理由，证明原审裁判存在错误。
3. 无责被告的情况：如果原审中存在多个被告，且其中部分被告被判定无责，原告仍然可以对这部分无责被告提出再审申请，但前提是原告认为原审裁判在涉及这部分无责被告的部分存在错误。例如，原告可能认为原审在认定事实或适用法律上存在偏差，导致无责被告被错误地判定为无责。

三、执行与再审的关系

1. 执行不影响再审申请：原告在执行被告一的同时，并不妨碍其对其他无责被告提出再审申请。执行程序与再审程序是两个独立的程序，它们之间并不相互排斥。
2. 再审可能影响执行：如果原告对无责被告的再审申请被受理，并且再审法院最终裁定撤销或变更了原审裁判，那么这可能会影响到正在进行的执行程序。例如，如果再审法院裁定无责被告实际上应承担部分责任，那么执行程序可能需要相应地进行调整。

四、法律建议

1. 充分准备再审申请材料：原告在提出再审申请时，应充分准备相关证据和理由，以证明原审裁判存在错误。这有助于提高再审申请的成功率。
2. 关注再审程序进展：原告在提出再审申请后，应密切关注再审程序的进展情况。如果再审法院受理了申请并进行了审理，原告应及时了解审理结果，并根据结果采取相应的法律措施。
3. 咨询专业律师：由于再审程序涉及复杂的法律问题和程序要求，原告在提出再审申请前最好咨询专业律师的意见。律师可以提供专业的法律建议和指导，帮助原告更好地维护自己的合法权益。

总结来说，原告在执行被告一的同时，可以对其他无责被告提出再审申请，但需满足再审的申请条件，并充分准备相关证据和理由。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。