结论：私下调解签字后对方没有在规定时间内付钱，一般情况下不能直接要求签字内容作废并继续劳动仲裁，但可以通过其他法律途径来维护自身权益。

分析说明：

1. 调解协议的效力：

   • 私下调解并签字后，该调解协议在双方之间具有法律约束力。这意味着，一旦双方达成调解协议并签字，就应当按照协议内容履行各自的义务。
   • 如果对方未在规定时间内付钱，这构成了对调解协议的违约。然而，违约并不直接导致调解协议作废，而是需要采取其他法律措施来追究对方的违约责任。

2. 不能直接要求作废并继续劳动仲裁的原因：

   • 劳动仲裁是一个独立的法律程序，其启动需要基于特定的劳动争议事实和法律依据。私下调解并签字后，如果双方没有就争议事项达成新的仲裁协议或没有新的争议事实出现，一般不能直接要求继续劳动仲裁。
   • 调解协议的签订并不排除双方通过其他法律途径解决争议的可能性，但并不意味着可以随意作废调解协议并重新启动劳动仲裁。

3. 可采取的法律途径：

   • 要求对方履行调解协议：你可以向对方发出书面通知，要求其按照调解协议的内容履行付款义务。如果对方仍然拒绝履行，你可以考虑采取进一步的法律措施。
   • 提起诉讼：如果对方未履行调解协议，你可以向人民法院提起诉讼，要求对方承担违约责任并支付相应的款项。在诉讼过程中，你可以提交调解协议作为证据，以证明对方存在违约行为。
   • 申请强制执行：如果对方在诉讼后仍然拒绝履行判决或裁定，你可以向人民法院申请强制执行，通过法律手段强制对方履行付款义务。

特殊情况说明：

• 如果调解协议中存在欺诈、胁迫等情形，导致调解协议的内容显失公平或违反法律法规的强制性规定，你可以向人民法院申请撤销该调解协议。但这种情况需要提供充分的证据来证明调解协议存在上述情形。

行动建议：

• 首先，尝试与对方进行沟通，了解其未付款的原因，并尝试通过协商解决问题。
• 如果沟通无果，你可以向对方发出书面通知，要求其履行调解协议。
• 如果对方仍然拒绝履行，你可以考虑向人民法院提起诉讼或申请强制执行来维护自身权益。

在处理此类问题时，建议你保留好所有与调解协议相关的证据，包括调解协议本身、沟通记录、付款通知等，以便在需要时提供证明。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。