护士长发现此类情况，应立即采取以下措施，具体分情况处理：

1. 初步核实与证据固定
   首先需确认私自收费行为是否属实，可通过调取监控录像、核对收费记录、询问在场人员（如患者、家属或其他护士）等方式固定证据。若证据确凿，需明确收费金额、频次及涉及人员范围，为后续处理提供依据。

2. 区分行为性质，采取不同处理方式

   • 若为个人行为且未涉及医院名义：
     护士私自收费可能构成职务侵占或不当得利。根据《民法典》第122条，护士需返还非法所得；若金额较大（通常指6万元以上），可能触犯《刑法》第271条职务侵占罪，需移交公安机关处理。护士长应立即制止行为，要求护士退还费用，并上报医院纪检部门，由医院根据内部规章制度（如《员工违纪处分条例》）给予警告、记过、解聘等处分。
     
   • 若以医院名义收费或涉及欺诈：
     若护士谎称“医院要求收费”或伪造收费凭证，可能构成诈骗罪（《刑法》第266条），需直接报警并配合调查。同时，医院需向患者道歉、退还费用，并公开澄清以维护声誉。

3. 完善制度与预防机制
   护士长应建议医院：

   • 明确陪护床等服务的收费标准及流程（如是否免费、若收费需通过医院正规渠道），并通过公示、患者签字确认等方式避免误解；
     
   • 加强财务监管，定期核查科室收费记录，杜绝“小金库”；
     
   • 组织法律培训，强调私自收费的违法性及后果，强化员工合规意识。

4. 关注患者权益与医院声誉
   若已收取费用，需优先退还患者，避免矛盾升级；若患者已因此受损（如因未支付“费用”被拒绝使用陪护床），医院可能需承担侵权责任（《民法典》第1165条），需主动协商赔偿。同时，通过媒体或公告澄清事实，防止舆情危机。

提示：具体处理需结合医院规章制度、行为情节及证据情况，建议护士长在初步核实后，联合医院法务或纪检部门共同推进，确保程序合法合规。若有进一步细节需分析，可直接向我咨询。