结论：公司员工私自雇工发生工伤，责任归属需根据具体情况判断，一般可能涉及员工个人责任、公司连带责任或第三方责任。以下是对不同情况的详细分析：
员工个人责任：
- 情况说明：如果员工私自雇工的行为完全出于个人目的，与公司业务无关，且公司对此毫不知情，那么发生工伤时，责任通常应由该员工个人承担。这是因为员工的行为不构成职务行为，公司未从中受益，也未对雇工的安全保障产生任何影响。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。在此情况下，员工作为雇主，应承担对雇工的安全保障义务，若因疏忽或故意导致雇工受伤，应承担相应的赔偿责任。
公司连带责任：
- 情况说明：如果员工私自雇工的行为虽然出于个人目的，但与公司业务有一定关联，或者公司对员工私自雇工的行为知情且未予制止，那么公司可能需承担一定的连带责任。这是因为公司作为工作场所的管理者，对工作场所内的安全保障负有一定责任，即使雇工并非公司直接雇佣，公司也可能因未尽到管理义务而承担部分责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国安全生产法》等相关法律法规，生产经营单位应当对从业人员进行安全生产教育和培训，保证从业人员具备必要的安全生产知识，熟悉有关的安全生产规章制度和安全操作规程。若公司未尽到上述义务，导致雇工在工作中受伤，公司可能需承担相应的法律责任。
第三方责任：
- 情况说明：如果员工私自雇工的行为涉及第三方（如承包商、供应商等），且工伤是由于第三方的过错或疏忽导致的，那么责任可能应由第三方承担。例如，如果员工私自雇工进行某项工作，而该工作需要使用第三方提供的设备或材料，若因设备或材料存在缺陷导致雇工受伤，那么第三方应承担相应的赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，因产品存在缺陷造成他人损害的，生产者应当承担侵权责任。在此情况下，若第三方提供的设备或材料存在缺陷导致雇工受伤，第三方应承担相应的赔偿责任。
建议与行动：
- 对于公司而言，应加强对员工的管理和监督，防止员工私自雇工等违规行为的发生。同时，公司应建立健全的安全生产管理制度和应急预案，确保工作场所的安全和稳定。
- 对于员工而言，应遵守公司的规章制度和法律法规，不得私自雇工或从事与公司业务无关的活动。若因个人行为导致雇工受伤，应承担相应的法律责任。
- 对于雇工而言，在接受雇佣时应了解雇主的身份和资质，确保自身权益得到保障。若在工作中受伤，应及时寻求法律援助和维权途径。
后续思考：在实际操作中，工伤责任的归属往往涉及复杂的法律关系和事实认定。因此，在处理此类纠纷时，建议各方当事人及时咨询专业律师，以便更准确地判断责任归属并维护自身权益。若您有任何关于劳动工伤方面的法律问题，可以直接向我咨询。