结论：公司每三年签一次合同，到了九年时，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定及实践操作，通常有两种处理方式：一是签订无固定期限劳动合同；二是若双方协商一致，也可以继续签订固定期限劳动合同。
分析说明：
签订无固定期限劳动合同：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。同时，该条款还规定了应当订立无固定期限劳动合同的几种情形，其中包括“连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的”。虽然此条款直接规定的是连续订立二次固定期限劳动合同后续订的情况，但实践中，对于连续订立多次（如本题中的三次，即九年）固定期限劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，也应当订立无固定期限劳动合同。
- 实践操作：在公司与员工已经连续签订了三次（九年）固定期限劳动合同的情况下，若员工没有违反公司规章制度或法律规定的情形，且员工提出或者同意续订劳动合同的，公司应当与员工签订无固定期限劳动合同。
继续签订固定期限劳动合同：
- 法律依据：虽然《中华人民共和国劳动合同法》鼓励签订无固定期限劳动合同，但并未禁止双方协商一致后继续签订固定期限劳动合同。因此，在双方协商一致的情况下，可以继续签订固定期限劳动合同。
- 实践操作：若公司与员工均同意继续签订固定期限劳动合同，且合同内容不违反法律法规的强制性规定，那么双方可以继续签订固定期限劳动合同。但需要注意的是，这种情况下，员工有权选择签订无固定期限劳动合同，公司不得强迫或诱导员工签订固定期限劳动合同。
行动建议：
- 对于公司：在与员工续订劳动合同时，应充分考虑员工的意愿和公司的实际情况，遵循法律法规的规定，与员工协商一致后签订劳动合同。若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，且员工提出签订无固定期限劳动合同的，公司应当予以满足。
- 对于员工：在续订劳动合同时，应了解自己的权益和法律法规的规定，根据自己的实际情况和职业规划，与公司协商签订合适的劳动合同类型。若希望获得更稳定的职业保障，可以提出签订无固定期限劳动合同的请求。
法律后果：
- 若公司违反法律法规的规定，未与员工签订无固定期限劳动合同而员工符合签订条件的，员工有权要求公司支付双倍工资差额等法律责任。
- 若双方因劳动合同签订问题发生争议，可以通过劳动争议调解仲裁机构或法院进行解决。
如有更多关于合同纠纷或劳动工伤（劳动仲裁）的问题，可以直接向我咨询。