针对您提出的“租房子没有签合同房东卖房子怎么办”的问题，这是一个涉及租赁关系和房屋买卖两个法律领域的复杂情况。以下是我为您提供的详细、条理清晰的解答：
一、明确法律地位与首要行动
法律地位：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，即使未签订书面租赁合同，只要您实际入住了房屋并支付了租金，您与房东之间就形成了事实上的租赁关系。这种关系在法律上被视为不定期租赁，双方都有权随时解除合同，但需给予对方合理的通知期限。
首要行动：
- 与房东沟通：首先，您应尽快与房东取得联系，表达您对租赁关系的重视，并询问房东卖房的具体原因和计划。
- 要求补签合同：在沟通中，您可以提出补签书面租赁合同的要求，以明确双方的权利和义务，包括租赁期限、租金支付方式、房屋使用规定等。
二、不同情境下的应对措施
房东同意补签合同：
- 如果房东同意补签合同，您应仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。
- 在签订合同前，您可以咨询专业律师或法律机构，以确保合同的合法性和有效性。
房东拒绝补签合同但愿意继续租赁：
- 如果房东拒绝补签合同但愿意继续租赁给您，您应要求房东出具书面说明，确认租赁关系的存在和租赁期限等关键信息。
- 同时，您应继续收集和保存所有与租赁相关的证据，如租金支付凭证、聊天记录、房屋内物品清单等，以备不时之需。
房东要求提前解除租赁关系：
- 如果房东因卖房等原因要求提前解除租赁关系，您有权要求房东给予合理的通知期限，并协商赔偿事宜。
- 如果房东拒绝赔偿或协商无果，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起诉讼或申请仲裁。
三、房东卖房时的特殊注意事项
- “买卖不破租赁”原则：根据法律规定，即使房东将房屋出售给第三方，您的租赁关系仍然有效。新房东应继续履行原租赁合同中的义务，包括租金支付、房屋维修等。
- 与新房东沟通：在房东卖房后，您应尽快与新房东取得联系，确认租赁关系的继续履行事宜，并协商可能需要的合同变更或补充协议。
四、预防措施与建议
- 签订书面合同：为了避免类似纠纷的发生，建议您在租房时务必与房东签订书面租赁合同，明确双方的权利和义务。
- 持续收集证据：在整个租房期间，您应持续收集和保存所有与租赁相关的证据，包括租金支付凭证、聊天记录、房屋维修记录等。
- 寻求专业帮助：如果您在租房过程中遇到任何法律问题或纠纷，建议您及时咨询专业律师或法律机构，以获取专业的法律建议和帮助。
综上所述，面对租房未签合同且房东卖房的情况，您应保持冷静，通过沟通协商和法律途径来维护自己的合法权益。同时，也应加强预防措施，避免类似纠纷的再次发生。希望这些建议能对您有所帮助。