关于学校教师请病假两天是否需要提交医院证明的问题，这主要取决于各学校的具体规章制度。不过，我可以根据一些常见的学校教师管理制度，给您一个较为全面的解答。
一般情况下，请病假两天是否需要医院证明，并非全国统一规定，而是由各个学校根据自身情况制定的。有些学校可能规定，请病假无论时间长短，都需要提供医院出具的诊断证明或相关医疗文件，以确保病假的真实性和合理性。而另一些学校则可能根据病假的时长来设定不同的要求，比如三天或更长时间的病假才需要提供医院证明。
以您提供的两个学校制度为例：
兰陵县第十一小学：该学校的制度中并未明确提及请病假两天是否需要医院证明，但提到了“三天以上病假要提供医院诊断证明”。这暗示着，对于三天以内的病假，可能不需要提供医院证明，但具体还需参照学校的其他相关规定或执行口径。
烟台市蓬莱区村里集镇学区中心学校：该学校明确规定，“凡因病请假者，需带本人县级以上医院出具的诊断证明、病历等有关证明”。这意味着，无论病假时间长短，都需要提供医院证明。
综合建议：
提前了解学校制度：在请病假前，建议您先查阅所在学校的教师管理制度或相关请假规定，了解请病假是否需要提供医院证明以及具体的请假流程。
准备必要材料：如果学校规定需要提供医院证明，那么您在请病假时，应准备好县级以上医院出具的诊断证明、病历等相关材料。
及时沟通：如果您因特殊情况无法及时提供医院证明，或者对学校的请假制度有疑问，建议及时与学校的相关部门（如政教处、人事处等）进行沟通，以获取更准确的指导和帮助。
总之，请病假两天是否需要提交医院证明，需根据您所在学校的具体规章制度来确定。希望以上解答能对您有所帮助。