结论前置：被刑事立案但检察院通知不要移送，案件通常会处于暂缓移送审查起诉的状态，后续可能面临撤销案件、变更强制措施、继续侦查或补充侦查等不同处理方式，具体取决于案件的实际情况和证据状况。以下是对这一情况的详细分析：

1. 案件暂缓移送审查起诉：

   • 当公安机关对某一案件进行刑事立案后，通常会将案件移送至检察院进行审查起诉。然而，如果检察院在审查过程中认为案件证据不足、事实不清，或者存在其他不宜立即起诉的情形，可能会通知公安机关不要移送案件，或者要求公安机关补充侦查。
   • 在这种情况下，案件会处于暂缓移送审查起诉的状态，公安机关会根据检察院的要求，对案件进行进一步的侦查或补充证据。

2. 可能撤销案件：

   • 如果经过进一步的侦查或补充证据后，检察院认为案件仍然不符合起诉条件，如证据不足、事实不清、情节显著轻微等，可能会决定不起诉，并通知公安机关撤销案件。
   • 撤销案件意味着犯罪嫌疑人将不再面临刑事追究，已经采取的强制措施（如拘留、逮捕等）也会被解除。

3. 变更强制措施：

   • 在案件暂缓移送审查起诉期间，如果检察院认为对犯罪嫌疑人采取的强制措施（如拘留、逮捕）已经不必要，或者存在其他更合适的强制措施（如取保候审、监视居住等），可能会通知公安机关变更强制措施。
   • 变更强制措施旨在保障犯罪嫌疑人的合法权益，同时确保案件的顺利进行。

4. 继续侦查或补充侦查：

   • 如果检察院认为案件需要进一步的侦查或补充证据，可能会通知公安机关继续侦查或补充侦查。
   • 在这种情况下，公安机关会按照检察院的要求，对案件进行进一步的调查取证工作，以完善案件的证据链条。

特殊场景提醒：

• 如果案件涉及重大、复杂或敏感因素，检察院和公安机关可能会更加谨慎地处理，甚至可能涉及上级机关的指导或协调。
• 在整个处理过程中，犯罪嫌疑人的合法权益应得到充分保障，包括但不限于知情权、辩护权等。

后续建议：

• 如果您或您身边的人遇到此类情况，建议保持与公安机关和检察院的沟通，及时了解案件进展和自身权益状况。
• 如有需要，可以寻求专业律师的帮助，以更好地维护自身合法权益。您可以直接向我咨询相关法律问题，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。