当公安部门出具不予立案通知书后，检察院的处理流程主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定来进行，以下是详细的处理步骤和解释：

一、控告人向人民检察院提出申诉

控告人在收到公安机关的不予立案通知书后，如果认为公安机关应当立案侦查而不立案，有权向人民检察院提出申诉。这是控告人维护自己合法权益的重要途径之一。

二、人民检察院要求公安机关说明不立案理由

人民检察院在收到控告人的申诉后，会要求公安机关说明不立案的理由。这一步骤是为了确保公安机关的决定是基于充分的调查和合理的判断，而不是随意或不当的。

三、公安机关给出答复

公安机关在收到人民检察院的要求后，需要在七日内给出答复，说明不立案的具体理由。这个答复应当是详细、具体且合法的，能够充分解释公安机关为何认为该案件不符合立案条件。

四、人民检察院审查并作出决定

人民检察院在收到公安机关的答复后，会进行审查。审查的内容包括公安机关的调查过程、证据收集情况、不立案的理由是否充分等。如果人民检察院认为公安机关的不立案理由不能成立，即认为该案件应当立案侦查，那么它会通知公安机关在十五日内立案。

五、公安机关执行立案决定

公安机关在收到人民检察院的立案通知后，应当立即执行，对该案件进行立案侦查。如果公安机关对人民检察院的决定有异议，可以通过法律途径进行申诉或复议，但在决定生效前，仍需执行立案决定。

总结与建议：

在整个处理过程中，控告人应保持冷静和理性，依法依规进行申诉和维权。同时，了解并掌握相关法律法规和程序规定对于有效维护自身权益至关重要。如果控告人对法律程序不熟悉或感到困惑，建议咨询专业的法律人士或律师，以获得更具体、更专业的指导和帮助。此外，控告人在申诉过程中应提供充分的证据来支持自己的主张，以提高申诉的成功率。