原配在特定条件下可以要求小三公开道歉，但这一要求能否得到法律支持，需视具体情况而定。以下从不同角度进行分析：
一、基于名誉权侵权的角度
构成要件：
- 公开行为：小三的行为需公开进行，且为第三人所知悉，这样才能对原配的名誉造成损害。
- 主观过错：小三在行为时必须有故意或过失，即明知或应知自己的行为会损害原配的名誉。
- 实质性损害：小三的行为必须导致原配的社会评价降低，对其名誉造成实质性损害。
法律后果：
- 若小三的行为构成名誉权侵权，原配有权要求小三停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉，并可要求赔偿损失。赔礼道歉的方式可以包括公开道歉，具体形式（如书面道歉、登报道歉等）可根据侵权情节和损害后果确定。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零二十四条，民事主体享有名誉权，任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。以及第一千一百八十三条，侵害自然人人身权益造成严重精神损害的，被侵权人有权请求精神损害赔偿。
二、基于重婚或同居等情形的角度
重婚情形：
- 若小三明知对方有配偶而与之结婚（包括登记结婚和以夫妻名义共同生活），构成重婚，原配作为合法配偶，其配偶权受到严重侵害。在此情况下，原配不仅可以追究出轨方和小三重婚罪的刑事责任，还可要求小三对因重婚行为所遭受的精神损害进行赔偿，并可能包括公开道歉的要求。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百五十八条，有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。
同居情形：
- 若小三与出轨方长期同居，虽不构成重婚，但可能对原配造成精神损害。原配在离婚诉讼中，可依据《中华人民共和国民法典》第一千零九十一条，因与他人同居导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿，其中可能包括精神损害赔偿，但公开道歉的请求需根据具体情况和法院判决来确定。
三、实际操作中的注意事项
- 证据收集：原配在要求小三公开道歉时，需提供充分证据证明小三的行为构成侵权或犯罪，如聊天记录、短信、邮件、照片、视频、证人证言等。
- 法律程序：原配可通过协商、调解或诉讼等方式要求小三公开道歉。若协商、调解无果，可向法院提起诉讼，请求法院判决小三公开道歉并赔偿损失。
- 合理诉求：原配在要求小三公开道歉时，应确保诉求合理合法，避免过度维权或侵犯小三的合法权益。
四、案例参考
- 案例一：若小三在公开场合对原配进行辱骂、诽谤，导致原配名誉受损，原配可收集证据后向法院提起名誉权侵权诉讼，要求小三公开道歉并赔偿损失。
- 案例二：若小三与出轨方构成重婚，原配在追究其刑事责任的同时，可提起附带民事诉讼，要求小三公开道歉并赔偿精神损害。
总结来说，原配在特定条件下可以要求小三公开道歉，但这一要求能否得到法律支持，需根据小三的行为是否构成侵权或犯罪、原配是否遭受实质性损害以及证据是否充分等因素综合判断。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。