结论：私立学校中途因身体原因离职，并非一定要出示医院证明，但出示医院证明能更有效地证明离职原因的合理性，减少纠纷。以下从不同角度进行分析：
一、法律层面分析
劳动合同解除的法定情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者因身体原因无法继续工作，属于可以解除劳动合同的情形之一。但法律并未明确规定必须出示医院证明作为解除劳动合同的唯一依据。
- 然而，在实际操作中，为了证明离职原因的合理性，避免用人单位对离职原因产生质疑，劳动者提供医院证明是一个有力的证据。
证据的提供与认定：
- 在劳动争议中，证据的提供与认定至关重要。如果劳动者因身体原因离职，但无法提供医院证明，用人单位可能会质疑离职的真实性或合理性，从而引发纠纷。
- 医院证明作为医疗机构的官方文件，具有较高的证明力，能够更有效地证明劳动者的身体状况和离职原因。
二、实际操作建议
尽量提供医院证明：
- 为了避免不必要的纠纷，建议劳动者在因身体原因离职时，尽量提供医院证明。这不仅可以证明离职原因的合理性，还可以为后续的劳动争议解决提供有力证据。
- 如果确实无法提供医院证明，劳动者可以尝试提供其他相关证据，如病历、诊断书、医生建议等，以证明其身体状况和离职的必要性。
与用人单位沟通协商：
- 在离职前，劳动者应与用人单位进行充分沟通，说明离职原因和身体状况，争取用人单位的理解和支持。
- 如果用人单位对离职原因产生质疑，劳动者可以主动提供相关证据，以消除用人单位的疑虑。
三、可能面临的法律后果
如果无法提供有效证据：
- 如果劳动者因身体原因离职但无法提供有效证据，用人单位可能会拒绝支付经济补偿或赔偿金，甚至可能引发劳动争议。
- 在这种情况下，劳动者可能需要通过法律途径解决争议，这可能会增加劳动者的维权成本和时间成本。
如果提供虚假证明：
- 如果劳动者提供虚假医院证明或其他相关证据，一旦被发现，将可能面临法律责任，包括但不限于被用人单位解除劳动合同、支付违约金或赔偿金等。
- 此外，虚假证明还可能影响劳动者的个人信誉和职业声誉，对其未来的职业发展产生不利影响。
总结与建议：虽然法律并未明确规定私立学校中途因身体原因离职必须出示医院证明，但为了证明离职原因的合理性、减少纠纷并维护自身权益，建议劳动者在离职时尽量提供医院证明。如果确实无法提供，也应尝试提供其他相关证据，并与用人单位进行充分沟通协商。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。