公司几乎没有胜诉机会，且可能面临多重法律责任。以下从不同角度详细分析：

1. 未签书面劳动合同的法律责任
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。工作十三年未签合同，已远超1年仲裁时效（自用工满1年起算1年），但劳动者可主张自用工满1年至第12年期间的11个月双倍工资差额（部分地区支持分段计算，需结合当地司法实践）。此外，根据《劳动合同法实施条例》第7条，用工满1年未签合同的，视为已订立无固定期限劳动合同，公司需补签书面合同并支付双倍工资。

2. 未缴纳社保的法律责任
   根据《社会保险法》第58条、第63条，用人单位必须自用工之日起30日内为劳动者办理社保登记并缴费。未缴纳的，劳动者可要求公司补缴（需向社保部门投诉，仲裁委一般不直接处理补缴诉求），且公司可能面临社保部门罚款（如欠缴数额1-3倍罚款）。若劳动者以“未依法缴纳社保”为由解除劳动合同，公司还需支付经济补偿金（按工作年限计算，13年对应13个月工资）。

3. 仲裁中的抗辩难点
   公司若主张“已签合同但遗失”或“劳动者自愿不缴社保”，需承担举证责任（如合同文本、劳动者签字的放弃社保声明等）。但实践中，此类证据极难被采信：

• 放弃社保的声明因违反法律强制性规定而无效；
  
• 合同遗失需提供其他佐证（如工资发放记录、考勤记录等），但这些证据仅能证明劳动关系，无法直接证明合同签订事实。

1. 潜在风险延伸
   若劳动者同时主张未签合同双倍工资、补缴社保、经济补偿金，公司可能面临：
   

• 支付11个月工资作为双倍工资差额；
  
• 补缴13年社保（公司承担单位部分，个人部分由劳动者承担）；
  
• 支付13个月工资作为经济补偿金；
  
• 社保部门罚款（如欠缴社保费用数额的1-3倍）。

建议：公司应立即与劳动者协商补签无固定期限劳动合同、补缴社保，并争取劳动者放弃部分诉求以降低损失。若已进入仲裁程序，需积极配合调解，避免败诉后强制执行带来的更大负面影响。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体应对方案。