在涉及多人团伙作案的赌博罪案件中，申请取保候审的合适时机主要取决于案件的具体进展、证据收集情况以及犯罪嫌疑人的个人情况，但通常来说，在刑事拘留初期或逮捕后，若符合取保候审条件，均可考虑申请。以下是对此问题的详细分析：

一、取保候审的适用条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，取保候审的适用条件主要包括：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的：对于赌博罪，如果犯罪情节较轻，可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的，可以考虑申请取保候审。
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的：这要求犯罪嫌疑人、被告人不会对社会造成新的危害，如不会继续赌博、不会逃跑等。
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的：这些特殊情况下的犯罪嫌疑人、被告人，如果取保候审不会对社会造成危害，也可以考虑申请。
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的：在案件侦查、审查起诉或审判过程中，如果羁押期限已经届满，但案件尚未办结，可以采取取保候审措施。

二、申请取保候审的时机

1. 刑事拘留初期：在犯罪嫌疑人被刑事拘留后，如果认为其符合取保候审条件，可以及时向公安机关提出申请。此时，案件可能还处于初步侦查阶段，证据收集尚不充分，如果犯罪嫌疑人能够积极配合调查，且符合取保候审条件，公安机关可能会考虑批准。
2. 逮捕后：如果犯罪嫌疑人被逮捕后，仍然认为其符合取保候审条件，也可以向检察机关提出申请。逮捕后，案件可能已经进入审查起诉或审判阶段，此时申请取保候审需要更加充分的理由和证据来证明犯罪嫌疑人不会对社会造成危害。

三、申请取保候审的注意事项

1. 提供充分证据：申请取保候审时，需要提供充分的证据来证明犯罪嫌疑人符合取保候审条件。这包括犯罪嫌疑人的个人情况、案件的具体情况、证据收集情况等。
2. 积极配合调查：犯罪嫌疑人需要积极配合公安机关、检察机关的调查工作，如实供述自己的罪行，提供有关线索和证据。
3. 遵守取保候审规定：如果犯罪嫌疑人被批准取保候审，需要严格遵守取保候审的规定，如不得离开指定居住地、不得干扰证人作证等。否则，可能会被撤销取保候审并重新羁押。

四、多人团伙作案的特殊情况

在多人团伙作案的赌博罪案件中，由于涉及人员较多、案情复杂，申请取保候审的难度可能会相对较大。因此，在申请取保候审时，需要更加充分地准备证据和理由，以证明犯罪嫌疑人不会对社会造成危害，并且不会与其他同案犯继续实施犯罪行为。

综上所述，在涉及多人团伙作案的赌博罪案件中，申请取保候审的合适时机主要取决于案件的具体进展、证据收集情况以及犯罪嫌疑人的个人情况。如果认为符合取保候审条件，可以在刑事拘留初期或逮捕后及时向公安机关或检察机关提出申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。