结论前置：当公共电梯经常坏时，业主在证明物业存在过错的情况下，有权起诉物业要求其承担相应责任。以下是从多个角度为您详细分析的法律依据和投诉途径：

一、法律依据

1. 《中华人民共和国民法典》

   • 第九百三十九条：建设单位依法与物业服务人订立的前期物业服务合同，以及业主委员会与业主大会依法选聘的物业服务人订立的物业服务合同，对业主具有法律约束力。这意味着物业有义务按照合同约定对电梯进行维护保养。
   • 第九百四十二条：物业服务人应当按照约定和物业的使用性质，妥善维修、养护、清洁、绿化和经营管理物业服务区域内的业主共有部分，维护物业服务区域内的基本秩序，采取合理措施保护业主的人身、财产安全。若物业未履行这一义务，导致电梯频繁损坏，业主有权要求物业承担责任。

2. 《中华人民共和国特种设备安全法》

   • 第十二条：任何单位和个人有权向负责特种设备安全监督管理的部门和有关部门举报涉及特种设备安全的违法行为，接到举报的部门应当及时处理。这为业主向相关部门投诉提供了法律依据。

3. 《物业管理条例》

   • 第三十五条：物业服务企业应当按照物业服务合同的约定，提供相应的服务。物业服务企业未能履行物业服务合同的约定，导致业主人身、财产安全受到损害的，应当依法承担相应的法律责任。若电梯频繁故障是由于物业未履行合同约定导致的，业主有权要求物业赔偿损失。

4. 《中华人民共和国消费者权益保护法》

   • 第十八条：经营者应当保证其提供的商品或者服务符合保障人身、财产安全的要求。业主在缴纳物业费后，享受物业提供的服务，其中包括电梯的正常运行。若电梯频繁故障影响正常生活，可视为消费者权益受到侵害，业主有权向消费者协会投诉。

二、投诉途径及建议

1. 向物业服务企业反映

   • 作为首要步骤，业主应向小区的物业服务企业反映电梯故障问题，要求其履行维修养护义务。可以通过物业服务电话、线上投诉渠道（如微信公众号、手机APP）或直接前往物业办公室当面沟通。

2. 向特种设备安全监督管理部门投诉

   • 若物业怠于处理或电梯存在严重安全隐患，业主可向当地的特种设备安全监督管理部门（如市场监督管理局）投诉。可以拨打12365质量投诉举报热线或前往办公地点进行现场投诉，要求其对电梯的维护保养情况进行监督检查，并责令相关责任方整改。

3. 向房管部门物业科投诉

   • 房管部门是物业管理的主管部门，业主可向该部门投诉电梯故障问题。可以提交书面投诉，详细描述电梯故障情况、与物业沟通的过程及期望的解决方案，要求其对物业公司进行监管，并督促及时维修。

4. 向消费者协会投诉

   • 在与物业服务企业沟通无果的情况下，业主可向消费者协会投诉。可以拨打12315消费者投诉举报专线，向消协工作人员详细描述事件经过、与物业沟通的情况等，消协会根据具体情况进行调解。

三、投诉时的注意事项

• 提供详细信息：在投诉时，应详细描述电梯故障的情况、发生时间、地点以及可能的影响，以便相关部门快速定位问题并采取措施。
• 收集证据：建议业主收集相关证据，如电梯故障记录、物业维修记录、受损证据等，以支持自己的投诉和维权行为。
• 保持理性沟通：与物业公司或相关部门沟通时，请保持冷静和理性，通过协商、调解等方式解决问题通常更为高效和可行。

四、可能的法律后果

• 若物业在电梯维护管理方面存在过错，如未履行维护保养义务、未及时处理故障或选用不合格零部件等，业主有权起诉物业要求其承担维修责任，并赔偿因电梯故障造成的损失（如身体伤害、误工费等）。
• 若物业的行为构成违约或侵权，还可能面临行政处罚或民事赔偿等法律责任。

综上所述，当公共电梯经常坏时，业主在证明物业存在过错的情况下，有权起诉物业要求其承担相应责任。在投诉过程中，请务必遵循相关法律法规和程序要求，确保投诉的有效性和合法性。如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。