结论：在借款未约定还款期限的情况下，出借人将借款人告上法庭是可行的，但需注意诉讼时效以及举证责任等问题。以下从多个角度进行详细分析：
一、诉讼时效问题
诉讼时效的起算：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对于未约定还款期限的借款，诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。在借款合同中，这通常意味着从出借人要求借款人还款，而借款人拒绝还款或未予回应之日起算。若出借人一直未向借款人主张还款，则诉讼时效可能尚未起算。但需注意，最长诉讼时效为二十年，自借款发生之日起计算。
诉讼时效的中断与中止：
- 在诉讼时效期间内，若出借人向借款人提出还款要求，或者借款人同意履行还款义务等，均可能导致诉讼时效的中断，重新计算诉讼时效期间。
- 若因不可抗力或其他障碍导致出借人不能行使请求权，诉讼时效可能中止，待障碍消除后继续计算。
二、举证责任问题
出借人的举证责任：
- 出借人需证明借款合同的存在，以及借款已实际交付给借款人。这通常通过借条、转账记录、聊天记录等证据来证明。
- 若出借人能证明借款合同的存在及借款交付事实，而借款人未能提供相反证据或合理抗辩，则法院可能支持出借人的诉讼请求。
借款人的抗辩权：
- 借款人若认为借款已归还或存在其他抗辩事由（如借款合同无效、已过诉讼时效等），需提供相应证据来支持其抗辩。
三、法律后果与建议
法律后果：
- 若法院认定借款合同有效且未过诉讼时效，借款人未履行还款义务，则法院可能判决借款人归还借款本金及可能产生的利息（若双方有约定且不违反法律规定）。
- 若借款人拒不履行法院判决，出借人可申请强制执行，法院将依法对借款人的财产进行查封、扣押、拍卖等措施以实现债权。
建议：
- 对于出借人：在借款时尽量明确约定还款期限，并保留好借款合同、转账记录等证据。若借款未约定还款期限，应及时向借款人主张还款，并保留好主张还款的证据（如聊天记录、录音等），以避免诉讼时效问题。
- 对于借款人：若收到出借人的还款要求，应积极与出借人沟通协商还款事宜。若认为存在抗辩事由，应及时收集证据并咨询专业律师以维护自身合法权益。
总结：借款未约定还款期限时，出借人仍可将借款人告上法庭，但需注意诉讼时效及举证责任等问题。建议双方在借款时尽量明确约定还款期限及相关条款，以避免不必要的法律纠纷。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。