当案件不予立案后出现新证据，当事人或相关权利人可以依据以下法律依据和步骤申请重新立案：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十三条的规定，被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，可以向人民检察院提出申诉。人民检察院会对公安机关的不立案决定进行审查，并要求其说明不立案的理由。如果检察院认为不立案理由不能成立，会通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。这一条款为不予立案后出现新证据时申请重新立案提供了明确的法律支持。

2. 申请重新立案的步骤：

   • 了解不予立案的原因：首先，需要明确原案件为何不予立案。这有助于判断新证据是否足以改变这一决定。不予立案的情形可能包括没有犯罪事实、犯罪情节显著轻微不需要追究刑事责任等。
   • 准备并提交新证据：
     • 收集新证据：新证据必须真实、合法且与案件事实相关联。常见的新证据类型包括物证、书证、证人证言、视听资料、电子数据等。
     • 提交新证据：将收集到的新证据整理成册，并附上详细的说明材料，向原办案机关（如公安机关）提交，并请求重新审查案件。
   • 申请复议或复核：
     • 申请复议：如果原办案机关认为新证据不足以改变不予立案的决定，当事人可以向其上级机关申请复议。复议申请应明确提出新证据的内容、来源及其对案件的影响。
     • 申请复核：在某些情况下，当事人还可以向更高一级的司法机关（如人民检察院）申请复核。复核申请同样需要提供充分的新证据和理由。
   • 寻求法律监督与救济：
     • 向检察院申请立案监督：如果被害人认为公安机关的不立案决定有误，且新证据足以支持立案，可以向人民检察院提出申诉，要求检察院对公安机关的不立案决定进行审查。
     • 提起自诉：对于某些特定类型的案件（如侮辱、诽谤罪等），如果公安机关或检察机关不予追究被告人刑事责任，被害人可以直接向人民法院提起自诉。自诉人需要提供充分的证据证明被告人的犯罪行为。

3. 注意事项：

   • 遵守法定程序：在申请重新立案的过程中，必须严格遵守法律法规规定的程序和时限。
   • 保持沟通：与原办案机关保持密切沟通，及时了解案件进展情况和需要补充的材料。
   • 寻求专业帮助：如有必要，可以聘请律师或其他专业人士提供法律咨询和代理服务，以确保申请重新立案的顺利进行。

总结来说，当案件不予立案后出现新证据时，当事人或相关权利人应首先了解不予立案的原因，然后准备并提交新证据，接着可以申请复议或复核，并寻求法律监督与救济。在整个过程中，务必遵守法定程序，保持与原办案机关的沟通，并在必要时寻求专业帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。