当行政处罚对象提出经济困难申请时，核实其经济状况并依法处理是一个严谨而细致的过程。以下是对此问题的详细解答：
一、申请时间与基本流程
申请时间：根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定及实践操作，当事人在收到行政处罚决定书后，若因经济困难需要暂缓或分期缴纳罚款，应在行政处罚决定书载明的履行期限内（通常为收到决定书之日起十五日内）向行政机关提出书面申请。
基本流程：
准备材料：当事人需收集并准备能够证明其经济困难的相关材料，这些材料包括但不限于收入证明、财产状况证明、家庭负担情况说明、低保证明、医院诊断证明及费用清单（如因重大疾病导致经济困难）、失业证明等。
提交书面申请：向作出行政处罚决定的行政机关提交一份详细的书面申请，明确阐述经济困难的具体原因、现状以及希望如何延期或分期缴纳罚款的具体方案。申请中应附上所有准备好的证明材料。
二、行政机关的核实与审查
核实材料：行政机关在收到当事人的申请后，将对其提交的材料进行严格审查。这一过程中，行政机关可能会要求当事人提供额外的证明材料或进行进一步的说明，以确保申请的真实性和合理性。
调查核实：除了审查书面材料外，行政机关还可能对当事人的经济状况进行实地调查或通过其他方式核实。例如，行政机关可以联系当事人的工作单位、银行、社区等，以获取更全面的经济状况信息。
审查期限：行政机关应在收到申请后的合理期限内进行审查。简单案件可在10个工作日内完成，复杂案件最长不应超过30个工作日。这一期限的设置旨在确保审查的及时性和有效性，同时避免对当事人造成不必要的拖延。
三、决定与后续执行
作出决定：审查结束后，行政机关将作出是否批准暂缓或分期缴纳罚款的书面决定。若批准，应明确具体的暂缓期限或分期缴纳计划；若不批准，则需说明理由，并告知当事人享有的法律救济途径。
签订协议：若行政机关批准了当事人的申请，双方将签订一份书面协议，明确约定延期或分期缴纳的具体时间、金额等关键事项。这一协议具有法律效力，双方均需严格遵守。
后续执行：在经批准的延期或分期缴纳期间，当事人不会因未按时足额缴纳罚款而遭受额外的罚款或强制执行措施。然而，若当事人未能按照协议履行缴纳义务，行政机关则有权恢复强制执行，并可依法加处罚款。
四、特殊情况与救济途径
特殊情况处理：对于因不可抗力等特殊原因导致的延迟申请或无法按时履行协议的情况，行政机关在核实相关证据后可酌情考虑给予适当的宽限或调整缴纳计划。
救济途径：如果当事人对行政处罚决定本身持有异议，认为其存在错误或不公正，可依法通过行政复议或行政诉讼等途径来维护自己的合法权益。但这并不构成逃避处罚的理由，而是要通过合法手段解决问题。
五、总结与建议
面对经济困难时的行政处罚，当事人应积极与行政机关沟通，依法行使自己的权利，同时尊重并努力履行法律责任。及时准备并提交相关申请材料，积极参与行政机关的审核程序，是确保自身权益得到有效保障的关键。在任何情况下，都应保持对法律的敬畏与遵守，通过合法途径解决争议与问题。