打人者确实有申请做伤情鉴定的权利，但这一权利的行使通常是在特定情境下，且目的与被害人有所不同。以下是对此问题的详细解答：
一、打人者申请伤情鉴定的情境与目的
对被害人伤情有异议时：
- 在打人事件中，如果打人者对被害人所声称的伤情程度存在质疑，认为其可能夸大或虚构伤情，那么打人者有权申请进行伤情鉴定。
- 申请鉴定的目的主要是为了确定被害人真实的伤情程度，从而避免自己因被误认为造成严重伤害而承担过重的法律责任。
涉及刑事责任追究时：
- 如果打人行为可能构成犯罪（如故意伤害罪），且打人者对公安机关或检察机关认定的伤情程度有异议，那么打人者或其辩护人也可以申请重新鉴定。
- 这种情况下，伤情鉴定的结果将直接影响打人者的刑事责任追究和量刑。
二、打人者申请伤情鉴定的流程与注意事项
申请流程：
- 打人者或其辩护人需要向公安机关或检察机关提出重新鉴定的申请，并说明申请的理由和依据。
- 公安机关或检察机关在审查申请后，如果认为有必要，会委托具备资质的鉴定机构进行重新鉴定。
注意事项：
- 打人者在申请伤情鉴定时，应提供充分的证据或理由来支持其申请，否则可能不会被受理。
- 重新鉴定的结果可能会与原鉴定结果不同，因此打人者应做好心理准备，并接受鉴定结果可能带来的法律后果。
三、法律建议
及时咨询专业律师：
- 在打人事件中，无论是打人者还是被害人，都应及时咨询专业律师，了解相关法律规定和操作流程。
- 律师能够提供专业的法律指导，帮助当事人了解伤情鉴定的权利、流程以及可能带来的法律后果，从而更好地维护自身权益。
保留相关证据：
- 打人者和被害人都应妥善保管好与伤情相关的证据，如医疗记录、诊断证明、照片等。
- 这些证据在伤情鉴定和后续的法律程序中可能起到关键作用。
尊重鉴定结果：
- 无论鉴定结果如何，当事人都应尊重并接受鉴定结果。如果对鉴定结果有异议，可以通过合法途径提出申诉或重新鉴定申请，但不应采取非法手段干扰鉴定过程或结果。
总结来说，打人者在特定情境下确实有申请做伤情鉴定的权利，但这一权利的行使应遵循法定程序，并充分考虑可能带来的法律后果。如果你有任何关于医疗纠纷、医疗损害、医疗事故赔偿等方面的法律问题，可以直接向我咨询。