被打一方确实可以申请做伤情鉴定，而且从维护自身合法权益的角度出发，及时申请伤情鉴定是非常关键且必要的步骤。以下是对此问题的详细解答：

一、伤情鉴定的必要性

1. 案件定性：伤情鉴定结果是判断打人行为是否构成犯罪以及何种犯罪的重要依据。例如，根据《中华人民共和国刑法》，故意伤害他人身体致人轻伤及以上程度的，将构成故意伤害罪，面临刑事处罚。

2. 民事赔偿：准确的伤情鉴定为受害者主张民事赔偿提供了有力支持。它有助于确定赔偿金额，如医疗费、误工费、护理费等，从而更有效地维护自身合法权益。

3. 法律证据：伤情鉴定报告作为法定的证据种类之一，在调解、诉讼等法律程序中具有高度的证明力，能够直观、科学地反映受害者的受伤情况。

二、申请伤情鉴定的流程

1. 立即报案：被打后，应第一时间向公安机关报案，以便启动法律程序并保护现场证据。

2. 获取鉴定委托书：公安机关在受理伤害案件后，会在24小时内开具伤情鉴定委托书，告知被害人到指定的鉴定机构进行伤情鉴定。

3. 准备鉴定材料：进行伤情鉴定时，需准备个人身份证明文件、受伤后的医疗诊断记录、医生的诊断证明、相关检验检测结果（如X射线、CT扫描等）以及公安机关开具的委托手续等材料。

4. 前往鉴定机构：收到公安机关的告知函后，携带相关材料前往指定的鉴定机构进行鉴定。

5. 获取鉴定结论：鉴定机构根据相关技术标准和材料进行分析评估，形成鉴定结论并出具鉴定意见。

三、鉴定时机的选择

1. 及时性鉴定：对于创口长度、肢体骨折等直观且相对稳定的损伤，应立即或尽快（通常24小时至7天内）申请伤情鉴定，以准确反映损伤程度。

2. 等待伤情稳定后鉴定：对于颅脑损伤、内脏损伤等初期症状可能不典型的损伤，需经过一段时间观察、治疗，待伤情稳定后才能准确判断损伤程度。具体鉴定时机应由具有资质的法医根据实际情况综合判断。

四、注意事项

1. 尽早鉴定：务必尽早进行伤情鉴定，以避免因时间推移导致身体上的痕迹和症状消退，影响评估结果的准确性。

2. 对鉴定结果有异议的处理：如对鉴定结果有异议，应及时向公安机关提出复议申请。

五、不做伤情鉴定的潜在风险

• 不做伤情鉴定可能导致公安机关难以准确认定加害人的违法行为严重程度，进而无法作出恰当的治安处罚。
• 在刑事追责方面，若伤情达到轻伤及以上级别而未进行鉴定，可能导致犯罪行为得不到应有的刑事追究。
• 从民事赔偿角度看，缺乏伤情鉴定将使得受害者难以主张合理的赔偿金额，自身合法权益可能无法得到充分保障。

综上所述，被打一方应尽快报警并申请伤情鉴定，以确保自身权益得到最大程度的保护。具体鉴定时机需根据伤情类型及稳定情况由法医判断，同时应妥善保管好相关证据和材料。