结论：考上事业编但未签劳动合同就生病的情况下，单位一般不能随意开除您，且应给予医疗期治病。但具体还需根据实际情况和法律规定来判断。

详细分析：

1. 关于未签劳动合同：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若未及时订立，用人单位需承担相应法律责任，如向劳动者支付双倍工资等。但此条款主要规范的是劳动合同的签订问题，并不直接涉及生病期间的权益保护。不过，它确立了您与单位之间的劳动关系，这是后续权益保护的基础。

2. 关于生病期间的权益保护：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者在患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在您生病且处于医疗期内时，单位是无权开除您的。
   • 医疗期的具体长度根据您的工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般会有数个月至数年不等。在医疗期内，您享有病假工资、医疗费用报销等权益。

3. 关于单位可能的行为及后果：

   • 如果单位在您医疗期内擅自开除您，那么这种行为是违法的。您有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求单位继续履行劳动合同或者支付赔偿金。
   • 赔偿金的具体数额会根据您的工资水平、工作年限以及单位违法解除劳动合同的具体情况来确定。

4. 特殊情况考虑：

   • 如果您的病情严重，且经过劳动能力鉴定后确认完全丧失劳动能力，那么单位可能会根据相关规定与您解除劳动合同，但此时需要支付相应的经济补偿和医疗补助费。
   • 另外，如果您的病情并不严重，但单位以其他理由（如“不能胜任工作”等）试图开除您，那么您需要仔细审查单位的理由是否充分、程序是否合法，并据此维护自己的权益。

建议：

• 在生病期间，您应尽快与单位沟通，明确自己的医疗期和病假工资等权益。
• 如果单位有违法开除您的行为，您应及时收集证据（如劳动合同、工资单、医疗证明等），并向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
• 在整个过程中，您可以寻求法律援助或者咨询专业律师（如我），以便更好地维护自己的权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。