核心结论：在工厂工作一个多月后因病死亡，能否获得赔偿以及赔偿的具体情况，需根据死亡原因、是否构成工伤等因素综合判断，以下分情况说明：
若死亡原因与工作相关，可能构成工伤
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第十五条规定，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。若符合这一情形，死者家属可以按照工伤保险待遇的相关规定获得赔偿。
- 赔偿项目及标准：
- 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
- 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 申请流程：死者家属应在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。认定工伤后，再向工伤保险经办机构申请工伤保险待遇。
若死亡原因与工作无关，不构成工伤
- 一般情况：如果死亡是由于自身疾病且与工作没有直接关联，比如死者本身患有严重的心脏病、癌症等，在工作期间发病死亡，但不符合上述工伤认定情形，那么通常不能认定为工伤，工厂一般无需承担工伤保险赔偿责任。
- 特殊情况：不过，如果工厂存在过错，例如明知员工身体状况不适合从事相关工作，仍安排其工作，或者在工作过程中存在其他侵犯员工合法权益的行为，导致员工病情加重或死亡，那么工厂可能需要承担相应的民事赔偿责任。具体赔偿项目和标准需根据实际情况，如过错程度、损害后果等因素，由法院进行判决。赔偿项目可能包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住院伙食补助费、营养费、丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等。
建议：死者家属可以先收集相关证据，如死亡证明、工作证明、医疗记录等，然后根据死亡原因判断是否符合工伤认定条件。如果符合，尽快向社会保险行政部门申请工伤认定；如果不符合，但认为工厂存在过错，可以与工厂协商赔偿事宜，协商不成可以向法院提起民事诉讼。如果你还有其他疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。