当债务人死亡且其继承人选择放弃继承时，法院在判决此类案件时，会遵循一系列明确的法律原则和程序来确保债权人的权益得到妥善处理。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据
首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条的规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。若继承人放弃继承，则对被继承人依法应当缴纳的税款和债务不负清偿责任。这一法律条款为处理此类问题提供了明确的法律依据。
二、债务处理方式
直接用遗产偿还：
- 在继承人放弃继承的情况下，债务人的债务将主要由其遗产来承担。债权人可以直接请求法院以债务人的遗产来清偿债务。
- 法院在审理此类案件时，会首先确定债务人遗产的范围，这包括但不限于房产、车辆、存款、股权等个人合法财产。
- 随后，法院会组织对遗产进行清理和变价，如通过拍卖房产、支取存款等方式，用所得款项来偿还债务。
遗产管理人的角色与职责：
- 在继承人放弃继承或无继承人的情况下，法院可能会指定被继承人生前住所地的民政部门或村民委员会担任遗产管理人。
- 遗产管理人的职责包括清理遗产、编制遗产清单，并在遗产范围内对债权人的债务进行清偿。他们需妥善管理遗产，不得侵害债权人的合法权益。
遗产分割与债务清偿顺序：
- 如果遗产已经分割但尚未清偿债务，法院会先由法定继承人用其所得遗产清偿债务。
- 若法定继承不足以清偿全部债务，再由遗嘱继承人和受遗赠人按比例用所得遗产偿还。
- 若只有遗嘱继承和遗赠，则同样由遗嘱继承人和受遗赠人按比例用所得遗产偿还。
三、争议解决途径
- 在处理此类案件过程中，如果存在任何争议，如对遗产范围的异议、遗产管理人不履行职责等，债权人可以向人民法院提起诉讼。
- 法院将依据事实和法律作出公正裁决，以保障债权人的合法权益。例如，如果债权人发现继承人虚假放弃继承以逃避债务，法院有权认定放弃行为无效，并要求继承人承担相应的清偿责任。
四、实例说明
假设甲起诉乙偿还借款，但在诉讼过程中乙死亡，且乙的继承人明确表示放弃继承。在此情况下，法院将查明乙的遗产范围，并执行这些遗产以清偿甲的借款。如果遗产足以清偿全部债务，则案件终结；如果遗产不足以清偿全部债务，剩余部分甲不能再要求乙的继承人偿还，案件同样终结。但若甲发现乙的继承人存在虚假放弃继承的情况，甲有权向法院提起诉讼以维护自身权益。
综上所述，当债务人死亡且继承人放弃继承时，法院将依法对遗产进行管理和债务清偿，以确保债权人的权益得到有效保障。