当房屋租赁合同到期而租户未按时搬离，且没有续签合同的情况下，作为房东，您可以按照以下清晰、详细且符合法律规定的步骤来处理这一问题：
一、明确权益与态度
首先，您需要明确的是，租赁合同到期后，若双方未续签，则租赁关系自动终止。租户继续占用房屋属于无权占有，您有权要求其搬离，并可能要求其支付超期房租及赔偿因此造成的损失。在处理过程中，请保持冷静和理性，避免与租户发生不必要的冲突。
二、沟通与协商
提前提醒：在租赁合同到期前，建议您提前1-2周以书面形式（如短信、邮件或书面信件）或口头方式提醒租户合同即将到期，并询问其是否有续租意向。
了解原因与协商：若租户未按时搬离，主动与其沟通，了解其不搬的原因。对于租户可能遇到的特殊困难，如搬家需要时间、新住处尚未准备好等，您可以在双方自愿的基础上协商给予一定的宽限期，并签订书面补充协议明确宽限期限及租金计算方式。
三、发送正式通知
若协商无果，您需要向租户发送正式的书面搬离通知。通知内容应包括：
四、寻求第三方调解
若租户在收到书面通知后仍拒不搬离，您可以考虑寻求第三方调解机构的帮助：
基层调解组织：如当地居委会、村委会或人民调解委员会等，这些机构通常具有丰富的调解经验，能够协助双方达成解决方案。
房屋租赁管理部门：部分地区设有专门的房屋租赁管理部门，您可以向其反映情况并请求协助调解。
五、采取法律途径
若调解无效，您需要采取法律手段来维护自身权益：
发送律师函：委托律师向租户发送律师函，明确指出其违约行为、法律责任及搬离期限。律师函具有较强的法律威慑力，能够促使租户认真对待并考虑搬离。
提起诉讼：若租户在收到律师函后仍拒不搬离，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供租赁合同、书面通知、律师函、房屋现状照片或视频等证据，以证明租赁关系到期及租户逾期不搬的事实。您的诉讼请求可以包括要求租户立即搬离、支付逾期占用费、承担违约责任及赔偿损失等。
强制执行：若法院判决您胜诉而租户仍不履行搬离义务，您可以在规定期限届满后向法院申请强制执行。法院将依法采取强制措施强制租户搬离，并可能追讨相关费用。
六、注意事项
在整个处理过程中，请确保所有行为均符合法律法规要求，以免给自身带来法律风险。同时，保留好所有相关证据和文件，以备后续可能的法律程序之需。
希望以上解答能够对您有所帮助。在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自身权益。