结论：单位在工伤职工停工留薪期满后一年才通知复工，而仲裁机构认定合理期限为九个月，单位是否存在过错需结合具体情况分析，但通常情况下，若单位无法证明延迟通知的合理性，则可能被认定为存在过错。
分析说明：
停工留薪期的规定：
- 根据《工伤保险条例》第三十三条，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。
- 停工留薪期一般不超过12个月。伤情严重或者情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。
单位通知复工的义务：
- 在停工留薪期满后，单位有义务根据职工的伤情和康复情况，及时通知职工复工。
- 若职工因伤情未能完全康复，单位应与职工协商，安排适当的工作或继续治疗。
单位延迟通知复工的可能过错：
- 若单位在停工留薪期满后无正当理由延迟通知复工，且该延迟对职工造成了不利影响（如工资损失、职业发展受阻等），则单位可能被认定为存在过错。
- 在本案例中，仲裁机构认定合理期限为九个月，而单位却一年后才通知复工。若单位无法提供充分证据证明延迟通知的合理性（如职工伤情严重需要更长时间治疗、双方有特殊约定等），则单位很可能被认定为存在过错。
法律后果：
- 若单位被认定为存在过错，可能需要承担相应的法律责任，如赔偿职工因延迟复工而遭受的损失。
- 具体赔偿金额和方式需根据职工的实际损失、单位的过错程度以及相关法律法规的规定来确定。
建议与行动：
对于职工：
- 若认为单位延迟通知复工存在过错，可以收集相关证据（如医疗证明、停工留薪期通知、单位通知复工的书面材料等），向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向法院提起诉讼。
- 在仲裁或诉讼过程中，应充分阐述自己的主张和理由，并提供充分的证据支持。
对于单位：
- 应严格遵守相关法律法规的规定，及时通知职工复工或安排适当的工作。
- 若因特殊情况需要延迟通知复工，应与职工充分协商并达成一致意见，同时保留好相关证据以备不时之需。
额外提醒：每个工伤案件的具体情况都有所不同，因此在处理类似问题时，建议根据实际情况进行具体分析。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。