公司不让实习生请病假，实习生确实可以向劳动监察部门（即通常所说的“劳动局”）投诉。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
法律角度
实习生与公司的法律关系：
- 实习生与公司之间通常形成的是劳务关系或实习关系，而非典型的劳动关系。然而，这并不意味着实习生不受任何劳动法律法规的保护。
- 如果实习生与公司签订了实习协议，且协议中明确规定了病假等相关权益，那么公司拒绝实习生请病假就可能构成违约。
病假的法律性质：
- 病假是劳动者因身体原因需要休息时享有的权利。虽然实习生与正式员工在法律地位上可能有所不同，但病假作为基本的人权和劳动权益，在合理范围内应当得到尊重。
- 如果实习生因病无法工作，且能够提供相应的医疗证明，那么公司应当允许其请病假。
劳动监察部门的职责：
- 劳动监察部门负责监督用人单位遵守劳动法律法规的情况，包括但不限于工资支付、工作时间、休息休假等方面。
- 如果实习生认为公司拒绝其请病假的行为违反了相关法律法规或实习协议，可以向劳动监察部门投诉。
实际操作角度
收集证据：
- 在向劳动监察部门投诉前，实习生应当收集相关证据，如医疗证明、实习协议、与公司的沟通记录等，以证明公司拒绝其请病假的事实。
投诉流程：
- 实习生可以向当地劳动监察部门提交书面投诉材料，包括投诉信、相关证据等。
- 劳动监察部门在收到投诉后，会进行调查核实，并根据调查结果作出相应处理。
可能的结果：
- 如果劳动监察部门认定公司拒绝实习生请病假的行为违法或违约，可能会要求公司改正错误，并可能对公司进行处罚。
- 同时，实习生也可能因此获得相应的赔偿或补偿。
建议与注意事项
与公司协商：
- 在向劳动监察部门投诉前，实习生可以尝试与公司进行协商，看是否能够达成一致意见。
了解法律法规：
- 实习生应当了解相关的劳动法律法规和实习协议内容，以便更好地维护自己的权益。
及时投诉：
- 如果实习生认为自己的权益受到侵害，应当及时向劳动监察部门投诉，以免错过维权时机。
结论：公司不让实习生请病假，实习生有权向劳动监察部门投诉。在投诉前，实习生应当收集相关证据，了解法律法规和实习协议内容，并尝试与公司进行协商。如果协商无果，可以及时向劳动监察部门提交投诉材料。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。