核心结论：生鲜超市店员打伤另一名店员，需根据伤情程度、行为性质及双方关系，通过民事赔偿、行政处罚或刑事追责等途径处理。以下是具体分析：

1. 民事赔偿层面

• 责任主体：打人店员作为直接侵权人，需对受伤店员承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费等合理费用（《民法典》第1179条）。
• 雇主责任：若超市未尽到安全管理义务（如未及时制止冲突、未提供安全工作环境），可能需承担补充赔偿责任（《民法典》第1198条）。
• 处理建议：
  • 受伤店员可要求打人者书面道歉并赔偿损失；
  • 若协商不成，可向法院提起民事诉讼，主张人身损害赔偿。

2. 行政处罚层面

• 处罚依据：若打人行为未构成犯罪，但违反《治安管理处罚法》第43条（殴打他人或故意伤害他人身体），公安机关可处5-10日拘留，并处200-500元罚款；情节较轻的，处5日以下拘留或500元以下罚款。
• 处理建议：
  • 超市应立即报警，由公安机关调查取证；
  • 保留现场监控、证人证言等证据，协助警方处理。

3. 刑事追责层面

• 犯罪构成：若打人行为导致轻伤及以上后果（如骨折、内脏损伤等），可能构成《刑法》第234条规定的故意伤害罪，处3年以下有期徒刑、拘役或管制。
• 处理建议：
  • 受伤店员应立即进行伤情鉴定（司法鉴定机构）；
  • 若鉴定为轻伤，公安机关应立案侦查，检察院可提起公诉；
  • 受伤店员也可同时提起刑事附带民事诉讼，要求赔偿。

4. 劳动关系处理

• 单位责任：超市作为用人单位，若未及时处理员工冲突，可能违反《劳动合同法》第38条（未提供劳动安全条件），员工可主张解除合同并要求经济补偿。
• 处理建议：
  • 超市应立即启动内部调查，对涉事员工按规章制度处理（如警告、辞退）；
  • 若员工因此离职，需依法结算工资、经济补偿等。

行动建议：

1. 立即报警并保留证据（监控、医疗记录、证人联系方式）；
   
2. 受伤店员优先治疗，同步进行伤情鉴定；
   
3. 超市需配合调查，并协商赔偿或通过法律途径解决；
   
4. 若涉及刑事犯罪，由公安机关依法处理。
   

如有进一步细节（如伤情程度、冲突原因等），可补充说明，我将为您细化分析。