结论上，甲方是否需要承担责任，取决于其是否对乙方拖欠工资的行为存在过错或是否符合法律规定的特定情形。以下是对此问题的详细分析：
一、甲方无直接责任的一般情况
在大多数情况下，如果甲方（即发包方）已经按照合同约定将食堂承包给了乙方（即承包方），并且已经履行了合同中的付款义务，那么对于乙方拖欠其员工工资的行为，甲方通常不承担直接责任。这是因为，工资支付是乙方与其员工之间的劳动关系问题，与甲方无直接关联。
二、甲方可能承担责任的特殊情况
甲方存在过错：
- 如果甲方在承包过程中存在过错，比如未按照合同约定支付承包费用，导致乙方无法按时支付员工工资，那么甲方可能需要承担一定的责任。但这种情况下的责任承担，通常需要基于具体的合同条款和事实情况来判断。
- 另外，如果甲方在选任承包方时未尽到合理的审查义务，比如选择了没有资质或信誉不良的乙方，导致乙方拖欠工资，甲方也可能因此承担一定的选任过失责任。
法律规定的特定情形：
- 在某些特定情况下，法律可能规定发包方需要对承包方的违法行为承担连带责任。但这通常需要基于明确的法律规定，并且需要证明发包方对承包方的违法行为存在过错或明知而放任。例如，如果甲方与乙方存在恶意串通，共同损害员工利益的情况，那么甲方可能需要承担连带责任。
三、法律建议
审查合同条款：
- 甲方应仔细审查与乙方签订的承包合同，确保合同中明确规定了双方的权利和义务，特别是关于工资支付和违约责任的部分。
监督乙方行为：
- 甲方在承包期间应适当监督乙方的经营行为，确保乙方遵守法律法规和合同约定，及时支付员工工资。
及时采取措施：
- 如果发现乙方存在拖欠工资等违法行为，甲方应及时采取措施，如要求乙方立即支付工资、解除承包合同等，以避免自身陷入法律纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果甲方对乙方拖欠工资的行为是否需要承担责任存在疑问，或者已经因此陷入法律纠纷，应及时寻求专业律师的法律帮助，以维护自身合法权益。
最后，如果甲方遇到类似问题或有任何法律疑问，都可以直接向我咨询。我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。