公司不肯开更名公告是否违法，需结合具体情况来判断，但一般情况下，若更名涉及公司登记事项变更且未依法公告，则可能构成违法。
一、公司更名与公告的法律要求
根据《中华人民共和国公司法》及相关规定，公司名称属于公司登记事项之一。当公司决定变更名称时，必须依法向公司登记机关申请变更登记，并提交相关文件。在完成变更登记后，公司通常需要通过一定方式向社会公告其名称变更事宜，以便相关方知晓并更新与公司相关的记录和信息。
二、公司不肯开更名公告的可能后果
违反公司登记管理规定：
- 如果公司更名后未依法进行公告，可能违反了公司登记管理的相关规定。虽然具体法律条款可能未直接规定“必须公告”，但公告是公司变更登记后的一项重要义务，旨在保障交易安全和市场秩序。
影响公司信用和声誉：
- 不公告更名可能导致公司合作伙伴、客户等利益相关方无法及时知晓公司名称变更，进而影响公司的信用和声誉。在商业活动中，信息的及时传递和准确性至关重要。
可能面临行政处罚：
- 如果公司未依法履行公告义务，且该行为被认定为违法，公司可能面临公司登记机关的行政处罚，如罚款、责令改正等。
三、特殊情况下的处理
- 如果更名不涉及公司登记事项变更（如仅在公司内部使用新名称，未对外公示或办理变更登记），则可能不需要进行公告。但这种情况较为罕见，且通常不符合商业实践。
- 如果公司因特殊原因无法及时公告（如自然灾害、技术故障等不可抗力因素），公司应及时向公司登记机关说明情况，并尽快采取补救措施。
四、建议与措施
依法履行公告义务：
- 公司应在完成名称变更登记后，及时通过公司官网、报纸、国家企业信用信息公示系统等渠道进行公告。
保留相关证据：
- 公司应保留公告的证据，如公告截图、报纸剪报等，以备查验。
咨询专业律师：
- 如果公司对更名公告的法律要求存在疑问，或担心未公告可能带来的法律风险，应及时咨询专业律师。不过，既然您已经找到了我史海鸥律师，有问题可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律意见。
公司不肯开更名公告在一般情况下可能构成违法，尤其是当更名涉及公司登记事项变更时。公司应依法履行公告义务，以保障交易安全和市场秩序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。