交通事故私底下签的协议，若对方起诉要求一次性支付赔偿款，你可以尝试与对方协商每月分期偿还，但能否成功取决于对方是否同意以及法院的判决。以下从不同角度为你详细分析：
一、协议的法律效力
首先，需要明确的是，你们私底下签订的交通事故赔偿协议，只要内容合法、双方自愿且没有违反法律法规的强制性规定，那么该协议是具有法律效力的。这意味着，双方都应当按照协议的约定来履行各自的义务。
二、对方起诉后的处理
协商分期偿还：
- 在对方起诉后，你可以主动与对方联系，提出每月分期偿还赔偿款的请求。这需要你向对方说明你的经济状况和还款能力，以及分期偿还的具体计划和时间表。
- 如果对方同意分期偿还，那么你们可以签订一份补充协议，明确分期偿还的金额、时间和方式等关键条款。这样，你就可以按照补充协议的约定来履行还款义务。
法院调解与判决：
- 如果对方不同意分期偿还，或者你们无法就分期偿还达成一致意见，那么案件将进入法院审理阶段。
- 在法院审理过程中，法官可能会组织双方进行调解。在调解时，你可以再次提出分期偿还的请求，并说明你的理由和计划。如果对方同意调解方案，那么法院将制作调解书，双方应当按照调解书的约定来履行各自的义务。
- 如果调解不成，法院将依法作出判决。在判决时，法院会考虑你的经济状况和还款能力等因素，但最终判决结果可能仍然要求你一次性支付赔偿款。不过，即使判决要求一次性支付，你也可以在执行阶段与对方协商分期偿还，或者向法院申请执行和解。
三、分期偿还的可行性
- 对方同意：如果对方同意你每月分期偿还赔偿款，那么这是最理想的情况。你可以按照与对方约定的时间和金额来履行还款义务。
- 法院支持：即使对方不同意分期偿还，你也可以在执行阶段向法院申请执行和解。法院在审查你的申请时，会考虑你的经济状况和还款能力等因素。如果法院认为分期偿还是合理的，并且不会损害对方的合法权益，那么法院可能会支持你的申请，并制作执行和解协议。
四、法律后果与风险提示
- 如果未能按照协议或判决履行还款义务：你可能会面临被对方申请强制执行的风险。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院有权采取多种强制措施来确保判决的执行，如查封你的银行账户、冻结你的网络支付平台账户、查封你的财产等。
- 信用惩戒：如果你拒不履行生效判决或裁定，还可能会被法院列入失信被执行人名单，受到信用惩戒。这将对你的出行、消费、贷款等产生严重影响。
五、建议与措施
- 主动沟通：在对方起诉后，主动与对方联系，说明你的经济状况和还款能力，提出分期偿还的请求。
- 保留证据：在整个过程中，务必保留好所有相关证据，如协议、补充协议、调解书、判决书等，以备不时之需。
- 寻求法律帮助：如果你对法律程序或相关规定不熟悉，可以咨询专业律师（即我本人）来获取更详细的法律建议和指导。
最后需要强调的是，交通事故赔偿问题涉及法律关系复杂且专业性强，因此建议你在处理过程中务必保持谨慎和理性。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。