非劳动仲裁的调解书，在特定条件下是可以申请起诉公司的，但需明确调解书的性质及起诉的法律依据。以下是对此问题的详细分析：
一、调解书性质与起诉基础
调解书性质：
- 调解书是双方当事人在争议解决过程中，通过协商达成一致意见后，由调解机构或调解人制作的书面文件。它记录了双方的权利义务关系及解决方案。
- 调解书本身并不具有强制执行力，除非经过司法确认或转化为仲裁裁决等具有强制执行力的法律文书。
起诉基础：
- 若调解书未经过司法确认或未转化为具有强制执行力的法律文书，且一方不履行调解书中的义务，另一方通常不能直接依据调解书向法院申请强制执行，但可以依据调解书所反映的事实和法律依据，向法院提起诉讼。
二、起诉公司的条件与流程
起诉条件：
- 原告（即提起诉讼的一方）需与本案有直接利害关系。
- 需有明确的被告（即公司）。
- 需有具体的诉讼请求和事实、理由。
- 需属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
起诉流程：
- 准备起诉材料：包括起诉状、证据材料（如调解书、相关交易记录、沟通记录等）、原告身份证明等。
- 提交起诉材料：将起诉材料提交至有管辖权的人民法院。
- 法院审查与立案：法院对起诉材料进行审查，符合起诉条件的，予以立案。
- 开庭审理：法院组织双方当事人进行开庭审理，听取双方陈述和辩论，查清事实。
- 判决与执行：法院根据审理情况作出判决，若一方不履行判决义务，另一方可申请强制执行。
三、特殊情况下的考虑
调解书已司法确认：
- 若调解书已经过司法确认，具有强制执行力，则一方不履行时，另一方可直接向法院申请强制执行，无需再提起诉讼。
调解书内容违法或显失公平：
- 若调解书内容违反法律、行政法规的强制性规定，或显失公平，损害一方合法权益的，该方可在知道或应当知道权益受损之日起一定期限内（如一年内）向法院提起诉讼，请求撤销或变更调解书。
四、法律建议
- 在签订调解书前：务必仔细阅读调解书内容，确保自身权益得到充分保障。如有疑问或不确定之处，可咨询专业律师。
- 在调解书签订后：若对方不履行调解书义务，且调解书未经过司法确认或未转化为具有强制执行力的法律文书，可考虑向法院提起诉讼以维护自身权益。
- 在提起诉讼前：收集并整理好相关证据材料，确保起诉的顺利进行。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。