乡村代课老师与学校之间是否建立劳动关系，这主要取决于他们之间的实际工作关系和法律规定。从您提供的案例中，我们可以进行详细的分析：

首先，我们要明确的是，劳动关系的建立并不完全依赖于书面劳动合同的签订。根据劳动法的相关规定，只要劳动者与用人单位之间存在事实上的劳动关系，即劳动者接受用人单位的管理，从事用人单位安排的工作，并从用人单位领取劳动报酬，那么双方就建立了劳动关系。

在您提供的案例中，王某自2006年9月起接受日照市某技校的聘用担任代课教师，他按月领取劳动报酬，接受学校的管理，并且其提供的劳动是学校业务的组成部分。尽管王某与学校之间未签订书面劳动合同，但根据这些事实，我们可以判断王某与学校之间已经形成了事实上的劳动关系。

此外，案例中还提到，学校在2010年6月30日通知王某解除双方劳动关系，并结清了王某的全部代课费。这一行为也进一步证明了双方之间存在劳动关系，因为只有存在劳动关系，学校才有义务通知王某解除关系并结清报酬。

至于王某后来向劳动仲裁部门递交申请，请求依法确认双方存在事实劳动关系，并请求裁决学校支付其拖欠工资及经济补偿金，虽然仲裁部门以王某的申请超过仲裁时效为由驳回了其仲裁请求，但这并不影响我们判断王某与学校之间是否存在劳动关系。实际上，法院在审理后也认定了双方之间存在事实上的劳动关系。

综上所述，我们可以得出结论：乡村代课老师与学校之间，只要满足事实劳动关系的构成要件，即劳动者接受用人单位的管理，从事用人单位安排的工作，并从用人单位领取劳动报酬，那么双方就建立了劳动关系。在您提供的案例中，王某与学校之间就建立了这样的劳动关系。