私自砍伐树木的监管部门主要取决于砍伐行为的性质和地点，一般由林业部门或城市管理部门负责。以下是对此问题的详细分析：

一、林业部门管辖的情况

1. 森林或林地中的树木：

   • 如果砍伐行为发生在森林或林地中，那么这通常属于林业部门的管辖范围。
   • 林业部门负责森林资源的保护和管理，包括树木的砍伐、移植等行为的监管。
   • 根据《中华人民共和国森林法》的相关规定，未经许可私自砍伐森林或林地中的树木，可能面临行政处罚，甚至刑事责任。

2. 农村或山区等非城市区域的树木：

   • 在农村或山区等非城市区域，如果砍伐的是非城市绿化树木，也通常由林业部门负责监管。
   • 这些区域的树木砍伐行为同样需要遵守相关法律法规，否则可能面临法律责任。

二、城市管理部门管辖的情况

1. 城市绿化树木：
   • 如果砍伐行为发生在城市中，且砍伐的是城市绿化树木（如行道树、公园树木等），那么这通常属于城市管理部门的管辖范围。
   • 城市管理部门负责城市绿化的规划、建设和管理，包括树木的砍伐、修剪等行为的监管。
   • 未经许可私自砍伐城市绿化树木，可能面临城市管理部门的处罚。

三、其他可能的监管部门

1. 环保部门：

   • 在某些情况下，如果砍伐行为对环境造成了严重影响，环保部门也可能介入调查和处理。
   • 环保部门负责环境保护的监管工作，包括对破坏生态环境行为的查处。

2. 公安机关：

   • 如果砍伐行为涉嫌犯罪（如盗伐林木），公安机关将依法进行刑事侦查和打击。
   • 公安机关负责维护社会治安和打击犯罪行为，包括对盗伐林木等犯罪行为的查处。

四、法律建议

• 遵守法律法规：无论砍伐哪种树木，都应遵守相关法律法规，获得必要的许可和批准。
• 了解监管部门：在砍伐前，应了解砍伐地点的监管部门，并咨询其相关规定和要求。
• 承担法律责任：如果未经许可私自砍伐树木，可能面临行政处罚、民事赔偿甚至刑事责任。因此，务必谨慎行事，避免违法违规行为。

如果您有关于私自砍伐树木或其他侵权损害方面的法律问题，欢迎直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。